Racionální číslo

Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, tedy podíl celého čísla a přirozeného čísla (ne nuly), zapsaný např. ve tvaru ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ nebo a/b, kde b není nula. Název pochází z latinského ratio – poměr. Množina všech racionálních čísel se značí Q nebo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, z latinského quotient – podíl. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo, jsou to například ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ nebo číslo ${\displaystyle \pi }$. Desetinný rozvoj racionálního čísla je periodický. V případě konečného rozvoje – desetinného čísla – tvoří periodu nuly (nebo devítky).

U zlomku ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ se číslo a označuje jako čitatel, číslo b jako jmenovatel (neboť určuje jméno zlomku: 1/2 je jedna polovina, 1/3 je jedna třetina, 1/4 je jedna čtvrtina atd.). Každé racionální číslo lze vyjádřit nekonečně mnoha zlomky, např. 1/2=2/4=3/6=... . Nejjednodušší je tvar, ve kterém a a b jsou nesoudělná čísla a b je kladné. Každé racionální číslo tento základní tvar má a je dán jednoznačně.

Vlastnosti

Množina racionálních čísel ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ společně s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso. Je to podílové těleso oboru celých čísel, tedy nejmenší těleso, které obsahuje všechna celá čísla.

Množina ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je spočetná; jelikož množina všech reálných čísel je nespočetná, jsou skoro všechna reálná čísla iracionální (ve smyslu Lebesgueovy míry). Racionální čísla však tvoří hustou podmnožinu množiny reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ – ke každému reálnému číslu lze libovolně blízko najít racionální číslo, to jest každé reálné číslo lze s libovolnou přesností nahradit racionálním číslem.

Počítání se zlomky

Zlomky lze sčítat a násobit:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

Dva zlomky ${\displaystyle a \over b}$ a ${\displaystyle c \over d}$ vyjadřují stejné racionální číslo tehdy a jen tehdy, když ${\displaystyle ad=bc}$. Ke každému racionálnímu číslu existuje číslo opačné a ke každému nenulovému i převrácené:

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}}$ pokud ${\displaystyle b\neq 0}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}$ pokud ${\displaystyle a\neq 0}$ a zároveň ${\displaystyle b\neq 0}$

Odkazy

Související články

• Celé číslo
• Zlomek
• Desetinné číslo
• Reálné číslo

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu racionální číslo na Wikimedia Commons