Logistická funkce

Logistická funkce nebo též logistická křivka je reálná funkce definovaná jako

${\displaystyle f(t;a,m,n,\tau )=a{\frac {1+me^{-t/\tau }}{1+ne^{-t/\tau }}}}$,

kde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \tau }$ jsou její parametry. Nezávisle proměnná funkce ${\displaystyle f}$ se označuje ${\displaystyle t}$, protože logistická funkce se často používá pro modelování vývoje v čase. V počáteční fázi je růst přibližně exponenciální, později s rostoucím nasycením se zpomaluje, a nakonec se asymptoticky zastaví. Logistická funkce se často používá v empirických vědách například pro modelování růstu populací a koncentrací.

Sigmoida

Sigmoida

Příkladem logistické funkce je případ s parametry ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle m=0}$, ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle \tau =1}$:

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{1+e^{-t}}}}$,

kde se tato logistická funkce se pro svůj tvar někdy označuje též jako sigmoida. Je řešením nelineární diferenciální rovnice prvního řádu:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=P(1-P)}$

s počáteční podmínkou ${\displaystyle P(0)={\frac {1}{2}}}$. Používá se často jako sponová funkce (link function) ve statistických modelech (logistická regrese) pro transformaci vstupních hodnost do intervalu ${\displaystyle (0,1)}$, což umožňuje přímý převod na procenta (např. úspěšnost nalezené shody při analýze obrazu, zvuku, textu atp.).

Význam

Logistické křivky se objevují jako řešení různých modelů například v demografii, biologii a ekonomii.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Logistic function na anglické Wikipedii.

Související články

• Logistická regrese
• Chybová funkce
• Gaussova křivka (funkce hustoty normálního rozdělení)
• Přechodový jev
• Umělá neuronová síť

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu logistická funkce na Wikimedia Commons

Portály: Matematika