Sobolevův prostor

Sobolevův prostor je v matematice normovaný vektorový prostor funkcí s normou, která je kombinací L^p-normy funkce a jejích derivací.

Sobolevovy prostory s celočíselnou derivací

Definice

Sobolevův prostor W^k,p(Ω) je množina všech funkcí u ∈ L^p(Ω) tak, že pro každý multi-index α s |α| ≤ k leží slabá parciální derivace ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ v L^p(Ω), tj.

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leq k\},}$

kde Ω je otevřena množina v Rⁿ a 1 ≤ p ≤ +∞. Přirozené číslo k se nazývá řád Sobolevova prostoru W^k,p(Ω).

Existuje mnoho možností jak na prostoru W^k,p(Ω) definovat normu, tedy, jak z něj vytvořit Banachův prostor. Následující dvě definice zavádějí dvě různé, ovšem navzájem ekvivalentní normy:

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p},&1\leq p<+\infty$ ;\\\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }(\Omega )},&p=+\infty ;\end{cases}}}

a

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )},&1\leq p<+\infty$ ;\\\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }(\Omega )},&p=+\infty .\end{cases}}}

Pro p < +∞ je Banachův prostor W^k,p(Ω) s takto zavedenými normami dokonce separabilní.

Na prostoru W^k,2(Ω) vybaveném normou ${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$lze navíc zavést skalární součin, který tuto normu indukuje, čímž se z něj stane Hilbertův prostor. Tento prostor se pak místo W^k,2(Ω) značí H^k(Ω).^[1]

Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací

Besselovy potenciální prostory

Pokud 1 < p < ∞, Besselův prostor H^s,p(Rⁿ) je dobře definován pro každé reálné číslo s předpisem

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\{f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}(1+|\xi |^{2})^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\in L^{p}(\mathbb {R} )^{n}\}}$

s normou

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\|{\mathcal {F}}^{-1}(1+|\xi |^{2})^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}$.

Besselovy potenciální prostory jsou Banachovými prostory a v speciálním případě p = 2 dokonce Hilbertovými prostory. Pojem Besselova prostoru je zobecnění pojmu Sobolevova prostoru v tom smyslu, že pro přirozené k platí H^k,p(Rⁿ)=W^k,p(Rⁿ) s ekvivalentními normami. Navíc platí řetěz vnoření

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leq s\leq s'\leq k+1.}$

Sobolev-Slobodeckého prostory

Další způsob definovat Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací používá nápad zobecnění Hölderovy spojitostí do Lebesgueových prostorů.^[2] Je-li Ω otevřená množina Rⁿ, 1 ≤ p < ∞, θ ∈ (0,1) a f ∈ L^p(Ω), pak Slobodeckého seminorma je definována předpisem

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy}$.

Je-li s > 0 neceločíselné, Sobolev-Slobodeckého prostor W^{s, p}(Ω) je dobře definován předpisem

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \}}$,

kde ${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$. Je Banachovým prostorem s normou

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }}$.

I v případě Sobolev-Slobodeckého prostorů platí řetěz vnoření

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leq s\leq s'\leq k+1}$.