Trigonometrie

Trigonometrie (z řeckého trigónon, trojúhelník a metrein, měřit) je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících. Trigonometrie se dělí na trigonometrii rovinnou (euklidovskou), trigonometrii sférickou (trigonometrie útvarů na kulové ploše) a na trigonometrii hyperbolickou (Lobačevského). Trigonometrie má základní význam při triangulaci, která se používá k měření vzdáleností mezi dvěma hvězdami, v geodézii k měření vzdálenosti dvou bodů a v satelitních navigačních systémech. V angličtině se trigonometrie a goniometrie souhrnně označuje jako trigonometry. Tento článek se věnuje rovinné trigonometrii.

Historie trigonometrie

Leonhard Euler, zakladatel moderní trigonometrie

První poznatky z trigonometrie lze prokázat již u Egypťanů. Podobné znalosti měli také Babyloňané a Chaldejci, od kterých převzali Řekové dnešní dělení plného úhlu na 360° a stupně na 60 minut. První práce o trigonometrii souvisely s problémem určení délky tětivy vzhledem k velikosti úhlu. První tabulky délek tětiv pocházejí od řeckého matematika Hipparcha z roku 140 př. n. l., další tabulky sepsal zhruba o 40 let později Melenaus, řecký matematik žijící v Římě. Práce starořeckých vědců vyvrcholila Ptolemaiovým dílem Megale syntaxis (Velká soustava), v níž Ptolemaios vypočítal tabulku délek tětiv kružnice, jež měla poloměr až 60 délkových jednotek a kde středový úhel, k němuž se délky vztahovaly, postupoval po 0,5°.

Od 5. století začali pak trigonometrii budovat Indové, od kterých pochází dnešní název pro sinus, a po nich vědci Střední Asie a Arabové. Z Indů se trigonometrii nejvíce věnoval Brahmagupta (7. století), z vědců Střední Asie a Arábie je pak třeba vzpomenout syrského astronoma al-Battáního.

Evropa se s trigonometrií seznámila díky západním Arabům. K rozvoji trigonometrie významně přispěl polský astronom Mikuláš Koperník, stejně tak i francouzský matematik François Viète, který představil kosinovou větu v trigonometrické podobě. Dnešní podobu trigonometrie jakožto vědu o goniometrických funkcích ve svém díle Introductio in analysin infinitorum (Úvod do analýzy) vytvořil Leonhard Euler. Poprvé zkoumal hodnoty sin x, cos x jako čísla, nikoli jako úsečky, a jako hodnoty proměnné připouštěl kladná i záporná čísla.

Trigonometrické věty a vzorce

Všechny následující vzorce platí v euklidovské rovině v každém trojúhelníku s tradičním značením ABC s velikostmi úhlů α, β, γ u vrcholů A, B, C a délkami protilehlých stran a, b, c. Uvedena je většinou jen jedna verze vzorce, varianta pro ostatní prvky se dostane cyklickou záměnou.

• Součet velikostí vnitřních úhlů:

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi =180^{\circ }}$

• Trojúhelníková nerovnost

${\displaystyle a+b>c>|a-b|}$

• Proti delší straně leží větší úhel:

${\displaystyle a>b\iff \alpha >\beta }$

• Věta o průmětech:

${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha }$

• Sinová věta:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},a:b=\sin \alpha$ :\sin \beta } .

• Kosinová věta:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$

• Tangentová věta:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha +\beta }{2}}}}}$

• Kotangentová věta:

${\displaystyle s-a=\rho \cdot \cot {\frac {\alpha }{2}},}$

kde ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ je poloviční obvod a ${\displaystyle \rho }$ poloměr kružnice vepsané.

• Věta o polovičních úhlech:

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{bc}}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s(s-a)}{bc}}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}},}$

kde ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ je semiperimetr.

• Mollweideovy vzorce:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}},}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}.}$

• Pro obsah S trojúhelníku s výškou ${\displaystyle v_{a}}$ na stranu a platí:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}av_{a}={\frac {1}{2}}ab\,\sin \gamma ,}$

a Heronův vzorec

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},}$

kde ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ je jeho poloviční obvod.

• Pro poloměr r kružnice opsané trojúhelníku ABC platí:

${\displaystyle r={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {ab}{2v_{c}}}={\frac {abc}{4S}}.}$

• Pro poloměr ρ kružnice vepsané trojúhelníku ABC s obsahem S a poloobvodem s platí:

${\displaystyle \rho =(s-a)\cdot \tan {\frac {\alpha }{2}},}$

${\displaystyle \rho ={\frac {S}{s}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$

Související články

• Goniometrie
• Goniometrická funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu trigonometrie na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo trigonometrie ve Wikislovníku
• Učebnice goniometrie a trigonometrie
• Historie trigonometrie Archivováno 21. 5. 2006 na Wayback Machine.
• Sférická trigonometrie v kartografii a astronomii^{[nedostupný zdroj]} – ve formátu DOC (244 kB)

Portály: Matematika