Vedlejší kvantové číslo

Vedlejší kvantové číslo či orbitální kvantové číslo je nezáporné celé číslo, které popisuje velikost momentu hybnosti elektronu v atomu. Jedná se o jedno ze čtyř kvantových čísel, která jednoznačně popisují stav elektronu v elektronovém obalu atomu.

Tvary orbitalů v závislosti na hlavním a vedlejším kvantovém čísle. Pro číslo ${\displaystyle n}$ existuje vždy ${\displaystyle n^{2}}$ různých orbitalů a pro určité číslo ${\displaystyle l}$ jich existuje ${\displaystyle 2l+1}$.

Elektrony se podle hodnoty hlavního kvantového čísla řadí do tzv. elektronových slupek. Jednotlivé elektronové slupky se navzájem liší energií. Čím větší je hlavní kvantové číslo slupky, tím jsou elektrony v něm dále od jádra atomu a mají tak větší potenciální energii. Uvnitř každé elektronové slupky se vyskytuje vícero elektronů, jejichž (orbitální) momenty hybnosti se mohou lišit. Elektrony s různými momenty hybnosti se pohybují kolem jádra atomu různými způsoby a jejich dráhy mají různé tvary.

V kvantové mechanice popisujeme elektron podle pravděpodobnosti jeho výskytu v nějakém bodě a to se provádí pomocí vlnové funkce. Tvar vlnové funkce elektronu je určen hlavním, vedlejším a magnetickým kvantovým číslem. Pro různá vedlejší kvantová čísla se tvary vlnových funkcí mohou i velmi lišit.

Vedlejší kvantové číslo standardně značíme ${\displaystyle l}$ a může nabývat hodnot ${\displaystyle l=0,1,\dots ,n-1}$, kde ${\displaystyle n}$ je hlavní kvantové číslo.

Definice

V rámci kvantové mechaniky je elektron v atomu popsán pomocí tzv. vlnové funkce. Řešením Schrödingerovy rovnice lze spočítat, že vlnová funkce elektronu je popsána pomocí tzv. sférických harmonických funkcí a Laguerrových polynomů. Laguerrovy polynomy určují výskyt elektronu v radiální vzdálenosti od jádra a sférické harmoniky zase rozložení elektronů v různých směrech. Právě tyto funkce určují tvary orbitalů.^{[pozn. 1]}

Obě tyto rodiny funkcí lze popsat pomocí dvou celočíselných parametrů, a to dvojicí ${\displaystyle n,l}$ pro Laguerrovy polynomy (právě tato čísla určují vzdálenost elektronu od jádra atomu) a ${\displaystyle l,m}$ pro sférické harmoniky. Dvojice čísel ${\displaystyle l,m}$ tak popisuje samotný tvar orbitalu a ${\displaystyle n,l}$ zase unikátně určují vzdálenost elektronu od jádra. Vedlejší kvantové číslo ${\displaystyle l}$ se nachází v obou těchto dvojicích a hraje proto významnou roli pro popis elektronu v atomu.

Při popisu atomu v kvantové mechanice mohou některé fyzikální veličiny nabývat pouze diskrétních hodnot, což nazýváme kvantování. V atomu dochází ke kvantování energií elektronů a také jejich momentů hybnosti. Právě díky kvantování momentu hybnosti je možno zavést orbitální kvantové číslo, protože jinak by (stejně jako v klasické mechanice) jeho velikost mohla být libovolné reálné číslo. Jednodušší je popis kvadrátu momentu hybnosti (druhá mocnina momentu hybnosti). Ten se kvantuje jako ${\displaystyle \hbar ^{2}l(l+1)}$, kde ${\displaystyle l}$ je celé číslo a ${\displaystyle \hbar }$ je redukovaná Planckova konstanta.^[1] To zapisujeme následovně.

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\vert \psi \rangle =\hbar ^{2}l(l+1)\vert \psi \rangle }$

Zde ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ je vlnová funkce a ${\displaystyle {\hat {L}}^{2}}$ je operátor kvadrátu momentu hybnosti.

Elektron, který má kvantové číslo ${\displaystyle l=2}$ tak má kvadrát momentu hybnosti ${\displaystyle 6\hbar ^{2}}$.

Charakterizace orbitalů

Stav elektronu v atomu je popsán pomocí čtyř kvantových čísel, z nichž tři mají vliv na rozložení jeho vlnové funkce v prostoru. Hlavní kvantové číslo ${\displaystyle n}$ určuje velikost orbitalu. Vedlejší a magnetické kvantové číslo určují jeho tvar a orientaci v prostoru. Různé způsoby prostorové rozložení elektronů v atomech nazýváme atomové orbitaly.

Hlavní kvantové číslo ${\displaystyle n}$ udává také maximální počet elektronů v elektronové slupce. Číslo ${\displaystyle l}$ může nabývat hodnot od nuly až po ${\displaystyle n-1}$ a magnetiské kvantové číslo ${\displaystyle m}$ může nabývat hodnot ${\displaystyle -l,-l+1,\dots ,l-1,l}$. Číslo ${\displaystyle m}$ tak může nabývat ${\displaystyle 2l+1}$ různých hodnot.

Díky Pauliho principu výlučnosti, který tvrdí, že žádné 2 elektrony nesmí mít všechna kvantová čísla stejná, můžeme spočítat, že čísla ${\displaystyle l}$ a ${\displaystyle m}$ dávají celkem

${\displaystyle \sum \limits _{l=0}^{n-1}\left(2l+1\right)=n^{2}}$

různých orbitalů. Díky spinovému kvantovému číslu jsou v každém orbitalu umístěny vždy nejvýše 2 elektrony (protože spinové číslo může nabývat dvou různých hodnot). V elektronové slupce příslušící hlavnímu číslu ${\displaystyle n}$ se tak může nacházet nejvýše ${\displaystyle 2n^{2}}$ elektronů.

Mluvíme tak o tom, že vedlejší kvantové číslo určuje typ atomového orbitalu. Podle čísla ${\displaystyle l}$ rozlišujeme různé typy elektronových orbitalů.

hodnota ${\displaystyle l}$	typ orbitalu	historický původ názvu
0	s	sharp
1	p	principal
2	d	diffuse
3	f	fundamental
4	g	následuje za f v abecedě