Dadansoddiad cymhlyg

Cangen o fathemateg yw dadansoddiad cymhlyg, a gaiff ei hadnabod fel "damcaniaeth ffwythiannau y newidyn cymhlyg". Mae'n ymwneud â'r astudiaeth o ffwythiannau rhifau cymhlyg. Mae'n ddefnyddiol o fewn sawl maes, gan gynnwys: geometreg algebraidd, damcaniaeth rhifau, combinatorics dadansoddol, a mathemateg gymhwysol ac oddi fewn i ffiseg: hydrodynameg, thermodynameg a mecaneg cwantwm. Caiff hefyd ei hymestyn i feysydd peirianneg e.e. ffiseg niwclear, peiranneg awyrennau a gofod ac electroneg.

Graff cylch lliw y ffwythiant f(z) = (z² − 1)(z + 2 − i)² / (z² + 2 - 2i).
Mae arlliw yn cynrychioli'r ymresymiad
a disgleirdeb yn cynrychioli maint.

Mae ffwythiant differadwy newidyn cymhlyg yn hafal i gyfanswm ei gyfres Taylor (h.y. mae'n ddadansoddol); gan hynny, mae'n ymwneud â ffwythiannau holomorffig.

Ffwythiannau cymhlyg

Ffwythiant cymhlyg ydy'r ffwythiant hwnnw lle mae ei barth a'i amrediad yn is-setiau o'r plân cymhlyg. Gellir mynegi hyn hefyd, drwy ddweud bod y newidyn annibynnol a'r newidyn dibynnol ill dau yn rhifau cymhlyg.

I fod yn fanwl gywir, mae'n ffwythiant o is-set o'r plân cymhlyg i'r rhifau cynhlyg.

Mewn unrhyw ffwythiant cymhlyg, gellir gwahanu'r newidynnau dibynnol ac annibynnol yn rhannau real a dychmygol:

${\displaystyle z=x+iy\,}$ ac

${\displaystyle w=f(z)=u+iv\,}$,

lle mae ${\displaystyle x,y,u,v\in \mathbb {R} .}$

Mae'n dilyn y gallem ddehongli cydrannau'r ffwythiant,

${\displaystyle u=u(x,y)\,}$ ac

${\displaystyle v=v(x,y)\,}$,

fel ffwythiannau real o dau newidyn real, ${\displaystyle x\,}$ ac ${\displaystyle y\,}$.

Defnyddir estyniad o ffwythiannau real (esbonyddol, logarithmig, trigonometrig) i'r parth cymhlyg yn aml fel cyflwyniad i ddadansoddi cymhlyg.

Felly

Ar gyfer unrhyw ffwythiant cymhlyg, gellir gwahanu gwerthoedd ${\displaystyle z}$ y parth a'u delweddau ${\displaystyle f(z)}$ yn yr amrediad i: rannau real a rhannau dychmygol:

${\displaystyle z=x+iy\quad }$ a ${\displaystyle \quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$,

ble mae ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$ i gyd yn werthoedd real.

Mewn geiriau eraill, mae'r ffwythiant cymhlyg ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ yn dadelfennu i

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$ a ${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,}$

h.y., mae'n dadelfennu i ddau ffwythiant sydd â gwerthoedd-real (${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$) o'r ddau newidyn real (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$).

Ffwythiannau holomorffig

Dywedir bod ffwythiannau cymhlyg differadwy, ar bob pwynt o is-set agored ${\displaystyle \Omega }$ o'r plân cymhlyg, yn "holomorffig" ar ${\displaystyle \Omega }$. Yng nghyd-destun dadansoddi cymhlyg, diffinnir deilliadau ${\displaystyle f}$ ar ${\displaystyle z_{0}}$ fel:

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}},z\in \mathbb {C} }$.