Legendre-polynomier er en klasse af polynomier, der bl.a. kan anvendes til at løse fysiske problemer, hvor et inverst potential indgår. Polynomierne blev introduceret af Adrien-Marie Legendre i 1782.
Polynomierne kan defineres som koefficienterne i en Taylor-ekspansion af den frembringende funktion omkring
hvor er det 'te Legendre-polynomium. Jf. formlen for et Taylor-polynomium er Legendre-polynomierne altså givet ved:
Denne metode kan gentages for at fine de næste polynomier, men da differentieringen bliver mere og mere kompleks, er det bedre at formulere en rekursionsformel.
Dette opnås ved at differentiere definitionen på Legendre-polynomierne:
Den første brøk er blot definitionen på summen, som indsættes i stedet.
Ligningen omskrives derefter, så indgår i alle led:
For hver værdi af skal ligheden også gælde for koefficienter alene:
Det næste polynomium er altså givet ved:
Da og er kendte, kan de øvrige funktioner altså let findes uden brug af differentialregning.
Fx er givet ved:
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.