Besselfunktion

Inden for matematik er en Besselfunktion en løsning til differentialligningen

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)u=0}$.

Bessel funktion ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ af første orden ${\displaystyle alpha}$ =0,1,2

Udtrykket kommer når man kigger på den radielle deling af Laplaces ligning i et polært koordinatsystem.

Funktionen er opkaldt efter Friedrich Wilhelm Bessel, men blev først beskrevet af Daniel Bernoulli.

Definition

Besselfunktioner af første grad defineres ved :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$.

Differentialligningen har to lineært uafhængige løsninger og derfor også besselfunktioner af anden grad:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},}$.

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ er ikke begrænset når ${\displaystyle x\to 0}$, hvilket gør at man ofte kan se bort fra denne løsning af fysiske årsager.

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Besselfunktion

Sfæriske besselfuntioner

I samarbejde med med Laplaces ligning i sfæriske koordinater kommer et lignende udtryk for den radielle del:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {du}{dx}}+\left(1-{\frac {n(n+1)}{x^{2}}}\right)u=0.}$

Denne har de sfæriske besselfunktioner som løsninger.

${\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x).}$