Indre produkt

Et indre produkt er i matematikken en funktion ${\displaystyle f\colon V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$ eller ${\displaystyle f\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C} }$, hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien ${\displaystyle f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$ skrives dog normalt ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$.

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. ${\displaystyle \langle r\mathbf {u} +s\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =r\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +s\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$ og ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,r\mathbf {v} +s\mathbf {w} \rangle =r\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +s\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle }$.
2. ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$.
3. ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0}$ og ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0\Leftrightarrow \mathbf {v} =\mathbf {0} }$.

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, defineret ved

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}}$,

hvor ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})^{T}}$ og ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})^{T}}$.

I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. ${\displaystyle \langle z\mathbf {u} +w\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =z\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +w\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$ og ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,z\mathbf {v} +w\mathbf {w} \rangle ={\overline {z}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {w}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$.
2. ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}}$.
3. ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0}$ og ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0\Leftrightarrow \mathbf {v} =\mathbf {0} }$.

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.