Kommutativitet

Kommutativitet er et matematisk begreb. En operation (evt. en funktion af to variable) er kommutativ, hvis rækkefølgen af operationens operander er uden betydning for resultatet.

En funktion ${\displaystyle \circ }$ er kommutativ, hvis, og kun hvis, ${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$ for et hvert ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$. Billedet illustrerer dette med en "regnemaskine". Det er uden betydning for "regnemaskinens" udkomme ${\displaystyle x\circ y}$ eller ${\displaystyle y\circ x}$ respektive hvilken orden argumenterne ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ har – det endelige resultat er det samme.

Binære operationer

Eftersom en binær operation løst set er en funktion ${\displaystyle O_{2}(\cdot ,\cdot )}$, der fører to elementer fra den ene mængde tilbage til den samme mængde, ${\displaystyle O_{2}(\cdot ,\cdot ):X\times X\rightarrow X}$. Og eftersom en binær operation har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær operations to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Derfor kan muligheden for kommutativitet godt gælde for binære operationer.

En binær operation ${\displaystyle O_{2}(\cdot ,\cdot )}$ over en mængde ${\displaystyle M}$ kaldes kommutativ, hvis der for hvert set af to elementer gælder, at det ene element og det andet element opereret med hinanden giver det samme resultat uafhængigt af, i hvilken rækkefølge udregningen af resultatet beregnes. Der vil være 2 = 2! rækkefølger.

${\displaystyle \forall a_{1},a_{2},a_{3}\in M:O_{2}(a_{1},a_{2})=O_{2}(a_{2},a_{1})}$

${\displaystyle \forall a_{1},a_{2}\in M:a_{1}\cdot a_{2}=a_{2}\cdot a_{1}}$

det vil sige, hvis alle elementer i ${\displaystyle (M,\cdot )}$ er ombyttelige.

For eksempel er addition over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), kommutativ; og eksempelvis er multiplikation over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), også kommutativ:

5 + 3 = 8 = 3 + 5

5 * 3 = 15 = 3 * 5

For eksempel er subtraktion over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), ikke kommutativ; og eksempelvis er division over de naturlige tal, (eller over de hele tal, eller over de rationale tal, eller over de reelle tal, eller over de komplekse tal), heller ikke kommutativ.

8-4 = 4 ≠ -4 = 4-8

8÷4 = 2 ≠ 0,5 = 4÷8

Imidlertid er multiplikation over et matrix-rum ikke kommutativ.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}e&f\\g&h\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(ae+bg)&(af+bh)\\(ce+dg)&(cf+dh)\\\end{bmatrix}},}$

hvorimod

${\displaystyle {\begin{bmatrix}e&f\\g&h\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(ea+fc)&(eb+fd)\\(ga+hc)&(gb+hd)\\\end{bmatrix}}.}$

Binære funktioner

En binær funktion løst set er en funktion ${\displaystyle f_{2}(\cdot ,\cdot )}$, der fører ét element fra den ene mængde og et andet element fra den anden mængde over til den tredje mængde, ${\displaystyle f_{2}(\cdot ,\cdot ):X_{1}\times X_{2}\rightarrow Y}$. Og eftersom en binær funktion har to in-put, giver det spørgsmål, hvorvidt placeringen af en binær funktions to in-put er uden betydning for resultatet af udregningen, mening. Dersom tilfældet ${\displaystyle X_{1}}$ ≠ ${\displaystyle X_{2}}$ overvejes, altså ${\displaystyle f_{2}(\cdot ,\cdot ):X_{1}\times X_{2}\rightarrow Y}$, kan kommutativitet ikke gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører hver deres mængde. Dersom tilfældet ${\displaystyle X_{1}}$ = ${\displaystyle X_{2}}$ = ${\displaystyle X}$ overvejes, altså ${\displaystyle F_{2}(\cdot ,\cdot ):X\times X\rightarrow Y}$, kan kommutativitet muligvis gælde, eftersom elementerne fra in-put tilhører den samme mængde.

Se også

• Associativitet
• Distributivitet
• Kommutator (matematik)

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.