Tallegemet $\mathbb {R}$

Mængden af reelle tal $\mathbb {R}$ er et eksempel på den matematiske struktur, som kaldes et (tal)legeme. Det betyder, at der findes to kompositionsregler kaldet addition (skrevet med symbolet ' $+$ ') og multiplikation (skrevet med symbolet ' $\cdot$ '), som opfylder følgende aksiomer, der kort beskrives ved hjælp af al-kvantor $\forall$ og eksistens-kvantor $\exists$ :

( $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ , +) er en kommutativ gruppe:
- Den associative lov er opfyldt:
$\forall \;a,b\in \mathbb {R$ .
- Den kommutative lov er opfyldt:
$\forall \;a,b\in \mathbb {R} :a+b=b+a$ .
- Der findes et neutralt element for addition eller nulelement, nemlig tallet $0$ :
$\forall \;a\in \mathbb {R} :a+0=0+a=a$ .
- Alle elementer er invertible, dvs. har et modsat element:
$\forall \;a\in \mathbb {R} \;\exists \;a^{*}\in \mathbb {R} :a+a^{*}=0$ ;

det modsatte element til $a$ betegnes $-a$ , $a^{*}=-a$ .

( $\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$ $\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$ er en kommutativ gruppe:
- Den associative lov er opfyldt:
$\forall \;a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
- Den kommutative lov er opfyldt:
$\forall \;a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot b=b\cdot a$ .
- Der findes et neutralt element for multiplikation eller et-element, nemlig tallet $1$ :
$\forall \;a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot 1=1\cdot a=a$ .
- Alle elementer er invertible, dvs. har et reciprokt element:
$\forall \;a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\;\exists \;a^{**}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot a^{**}=1$ ;

det reciprokke element til $a$ betegnes $1/a$ eller $a^{-1}$ , $a^{**}=1/a$ .

Den distibutive lov er opfyldt, dvs.
$\forall \;a,b,c\in \mathbb {R} :a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ .

Tallegemet $\mathbb {C}$

Mængden af komplekse tal $\mathbb {C}$ konstrueres ved at betragte mængden af reelle talpar $(a,b)$ og heri definere følgende to kompositionsregler:

Addition:		$(a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})$
Multiplikation:		$(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})=(a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})$

Talparret $(0,0)$ er nul-element og talparret $(1,0)$ er ét-element:

(a_{1},a_{2})+(0,0)=(a_{1}+0,a_{2}+0)=(a_{1},a_{2})

(a_{1},a_{2})\cdot (1,0)=(a_{1}\cdot 1-a_{2}\cdot 0,a_{1}\cdot 0+a_{2}\cdot 1)=(a_{1},a_{2})

Man kan ved selvsyn kontrollere, at alle aksiomerne omtalt i forrige afsnit er opfyldt. Her følger et par eksempler:

Multiplikation er kommutativ fordi multiplikation (og addition) af reelle tal er det:

$(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})$	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})$
	$\,=\,$	$(b_{1}\cdot a_{1}-b_{2}\cdot a_{2},b_{1}\cdot a_{2}+b_{2}\cdot a_{1})$
	$\,=\,$	$(b_{1},b_{2})\cdot (a_{1},a_{2})$

Multiplikation er associativ, da udregning af de to sider giver samme resultat:

Venstre side:

$(a_{1},a_{2})\cdot ((b_{1},b_{2})\cdot (c_{1},c_{2}))$	$\,=\,$	$(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1}\cdot c_{1}-b_{2}\cdot c_{2},b_{1}\cdot c_{2}+b_{2}\cdot c_{1})0$
	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{1}$
	$\,,\,$	$a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2})$

Højre side:

$((a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2}))\cdot (c_{1},c_{2})$	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot (c_{1},c_{2})$
	$\,=\,$	$(a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{1}$
	$\,,\,$	$a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2})$

De to resultater er ens.

Den associative lov vises ved tilsvarende (trælsomme) udregninger.

Modsat element Åbenbart er det modsatte element til $(a_{1},a_{2})$ elementet $(-a_{1},-a_{2})$ .

Reciprokt element Lad $(a_{1},a_{2})$ være et element forskelligt fra $(0,0)$ . Vi skal vise, at der findes et element $(x_{1},x_{2})$ så

(a_{1},a_{2})\cdot (x_{1},x_{2})=(1,0)

Med anvendelse af produktdefinitionen fører dette til ligningssystemet

{\Bigg \{}{\begin{matrix}{a_{1}\cdot x_{1}-a_{2}\cdot x_{2}=1}\\{a_{2}\cdot x_{1}+a_{1}\cdot x_{2}=0}\end{matrix}}

der har determinanten $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$ , som er et positivt tal. Ligningssystemet har derfor netop én løsning

(x_{1},x_{2})={\begin{pmatrix}{\frac {\begin{vmatrix}1&-a_{2}\\0&a_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&-a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{vmatrix}}},{\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&1\\a_{2}&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&-a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{vmatrix}}}\end{pmatrix}}={\bigg (}{\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}},{\frac {-a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}{\bigg )}

Det reciprokke element er derfor entydigt bestemt til

${(a_{1},a_{2})}^{-1}=\left({\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}},-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}\right)$

(6)

Eksempel

(Eks. 2)

Det reciprokke tal til $(a_{1},a_{2})=({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$ er

{(a_{1},a_{2})}^{-1}=\left({\frac {\tfrac {1}{2}}{{\tfrac {1}{2}}^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}},-{\frac {-{\tfrac {1}{2}}}{{\tfrac {1}{2}}^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)=\left({\frac {\tfrac {1}{2}}{2\cdot {\tfrac {1}{4}}}},{\frac {\tfrac {1}{2}}{2\cdot {\tfrac {1}{4}}}}\right)=(1,1)

Indlejring af de reelle tal $\mathbb {R}$ i de komplekse tal $\mathbb {C}$

Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. Reglerne for addition og multiplikation lyder da

Addition:		$(a,0)+(b,0)=(a+b,0)$
Multiplikation:		$(a,0)\cdot (b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0)$
Reciprok værdi:		${(a,0)}^{-1}=\left({\frac {a}{a^{2}+0}},-{\frac {0}{a^{2}+0}}\right)=(a^{-1},0)$

På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal $(a,0)$ med det reelle tal $a$ , og man siger, at mængden $\mathbb {R}$ er indlejret i $\mathbb {C}$ eller er en ægte delmængde af $\mathbb {C}$ .

Medens de reelle tal er en ordnet mængde, dvs. for etvert talpar $(a,b)$ gælder, at enten er $a<b$ eller $a=b$ eller $a>b$ , så gælder intet tilsvarende for komplekse tal; man kan ikke om to givne forskellige komplekse tal sige, at det ene er større end eller mindre end det andet.

Den imaginære enhed i

Ifølge produktreglen gælder om det komplekse tal $(0,1)$ at

(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1-1\cdot 0)=(-1,0)

Det komplekse tal $(0,1)$ kaldes af historiske grunde den imaginære enhed og betegnes med $\mathrm {i}$ :

$\mathrm {i} \equiv (0,1)$

(7)

Da man kan identificere $(-1,0)$ med $-1$ , når vi frem til ligningen

\mathrm {i} ^{2}=-1

Et vilkårligt komplekst tal $z=(a,b)$ kan nu skrives på formen

z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)\cdot (0,1)

eller kort

$z=a+b\cdot \mathrm {i}$

(8)

Introduktionen af den imaginære enhed medfører en skrivemåde for komplekse tal, som er mere praktisk anvendelig end den oprindelige definition med talpar og kompositionsregler. Eksempelvis er

z\cdot \mathrm {i} =a\cdot \mathrm {i} +b\cdot {\mathrm {i} }^{2}=-b+a\cdot \mathrm {i}

.