Komplekse tal
From Wikipedia, the free encyclopedia
Ved et komplekst tal[1][2][3][4] forstås en størrelse , som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse . Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Et komplekst tal skrives på formen
hvor og som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben
Da det for ethvert reelt tal gælder, at , kan ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).
En stringent definition af de komplekse tal og den imaginære enhed gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.
Reelle kontra komplekse tal
Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.

De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.

De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.
Notation
Mængden af komplekse tal betegnes med bogstavet C med dobbeltstreg. |
I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne [1] og [3] eller der veksles frit mellem dem[2][4][5]. For at fremhæve den imaginære enhed , anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering[6].
Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.
Her benyttes notationen .
Inden for de reelle tal er der tradition for at betegne variable med bogstaverne og ; inden for de komplekse tal anvendes traditionelt variabelnavne som og .
De to dele af det komplekse tal kaldes realdelen og imaginærdelen:
Realdelen af : Imaginærdelen af :
Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.
Entydighed
Fremstilling af et komplekst tal på formen er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:
- og
Man kan da omskrive således:
hvoraf
Antag at . Ved division fås da, at
Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs. . Videre følger, at , så også . De to fremstillinger er altså ens.
Elementære regneregler for komplekse tal

Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at .
Vi betragter to komplekse tal,
- og .
Kompleks addition:
-
(1)
Kompleks subtraktion:
-
(2)
Kompleks multiplikation:
-
(3)
Kompleks division:
-
(4)
Kompleks konjugering:
-
(5)
Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.
Eksempler |
|
(Eks. 1) |
Elementær regning med komplekse tal
De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.
Definition af de komplekse tal
Tallegemet
Mængden af reelle tal er et eksempel på den matematiske struktur, som kaldes et (tal)legeme. Det betyder, at der findes to kompositionsregler kaldet addition (skrevet med symbolet '') og multiplikation (skrevet med symbolet ''), som opfylder følgende aksiomer, der kort beskrives ved hjælp af al-kvantor og eksistens-kvantor :
- (, +) er en kommutativ gruppe:
- Den associative lov er opfyldt:
- .
- Den kommutative lov er opfyldt:
- .
- Der findes et neutralt element for addition eller nulelement, nemlig tallet :
- .
- Alle elementer er invertible, dvs. har et modsat element:
- ;
- det modsatte element til betegnes , .
- ( er en kommutativ gruppe:
- Den associative lov er opfyldt:
- .
- Den kommutative lov er opfyldt:
- .
- Der findes et neutralt element for multiplikation eller et-element, nemlig tallet :
- .
- Alle elementer er invertible, dvs. har et reciprokt element:
- ;
- det reciprokke element til betegnes eller , .
- Den distibutive lov er opfyldt, dvs.
- .
Tallegemet
Mængden af komplekse tal konstrueres ved at betragte mængden af reelle talpar og heri definere følgende to kompositionsregler:
Addition: Multiplikation:
Talparret er nul-element og talparret er ét-element:
Man kan ved selvsyn kontrollere, at alle aksiomerne omtalt i forrige afsnit er opfyldt. Her følger et par eksempler:
Multiplikation er kommutativ fordi multiplikation (og addition) af reelle tal er det:
Multiplikation er associativ, da udregning af de to sider giver samme resultat:
- Venstre side:
- Højre side:
- De to resultater er ens.
Den associative lov vises ved tilsvarende (trælsomme) udregninger.
Modsat element Åbenbart er det modsatte element til elementet .
Reciprokt element Lad være et element forskelligt fra . Vi skal vise, at der findes et element så
Med anvendelse af produktdefinitionen fører dette til ligningssystemet
der har determinanten , som er et positivt tal. Ligningssystemet har derfor netop én løsning
Det reciprokke element er derfor entydigt bestemt til
-
(6)
Eksempel |
|
(Eks. 2) |
Det reciprokke tal til er
Indlejring af de reelle tal i de komplekse tal
Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. Reglerne for addition og multiplikation lyder da
Addition: Multiplikation: Reciprok værdi:
På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal med det reelle tal , og man siger, at mængden er indlejret i eller er en ægte delmængde af .
Medens de reelle tal er en ordnet mængde, dvs. for etvert talpar gælder, at enten er eller eller , så gælder intet tilsvarende for komplekse tal; man kan ikke om to givne forskellige komplekse tal sige, at det ene er større end eller mindre end det andet.
Den imaginære enhed i
Ifølge produktreglen gælder om det komplekse tal at
Det komplekse tal kaldes af historiske grunde den imaginære enhed og betegnes med :
-
(7)
Da man kan identificere med , når vi frem til ligningen
Et vilkårligt komplekst tal kan nu skrives på formen
eller kort
-
(8)
Introduktionen af den imaginære enhed medfører en skrivemåde for komplekse tal, som er mere praktisk anvendelig end den oprindelige definition med talpar og kompositionsregler. Eksempelvis er
- .
Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse tal
Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplan

Et komplekst tal kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.
Nogle geometriske fortolkninger:
- Da , svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5), til spejling om den reelle akse.
- Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum konstrueres som et parallelogram.
- Multiplikation med sker ved drejning på , division ved drejning på .
- Da , fås realdelen ved projektion af på den reelle akse.
- Da , fås imaginærdelen ved projektion af på den imaginære akse.
Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved og :
Polær beskrivelse: Modulus og argument

Et komplekst tal , som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater også beskrives ved sine polære koordinater . Her betegner punktets afstand fra origo og er den vinkel, som liniestykket danner med den reelle akse, se figuren.
Den polære koordinat kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives
Den polære koordinat kaldes det komplekse tals argument og skrives
Her er den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne danner med førsteaksen.
Det komplekse tal har modulus , men tillægges ikke noget argument.
Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis er argument for , så kan også ethvert af tallene bruges som argument, fordi addition af et multiplum af ( eller i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade ligge i det halvåbne interval ( eller i gradmål ).
Eksempler |
|
(Eks. 3) |
Multiplikation og division af to komplekse tal på polær form
De kartesiske koordinater for et komplekst tal med modulus og argument fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:
Tallet kan derfor skrives
- .
Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal
bliver
hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske additionsformler. Man kan heraf konkludere, at
For gælder, at . Heraf slutter vi dels at
og dels at
Heraf følger
samt
Funktionen cis
Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen med komplekse funktionsværdier:
-
(9)
Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til fås
Funktionen differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.
Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion :
Anvendelse af medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel kontra .
de Moivres formel og heltalspotenser
Hvis man i formlen for produktet af og sætter , får man
og for produktet af og fås
hvilket straks kan generaliseres til
Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den
-
(10)

eller med anvendelse af -funktionen, jfr. definitionen (9)
Opløftning af et komplekst tal til -te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus i -te potens og gange dets argument med . Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.
Fordelen ved de Moivres formel for er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser , , ... . Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.
Eksempler |
|
(Eks. 4) |
For det komplekse tal er
Potenser af beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.
Potens | Kartesiske -potenser | Modulus | Argument | Realdel | Imaginærdel |
---|---|---|---|---|---|
) | |||||
Komplekse enhedsrødder

Inden for de reelle tals mængde har ligningen enten én eller to reelle løsninger, nemlig , hvis er ulige, og og , hvis er lige.
Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at
- .
Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så kan skrives , hvor er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10):
Løsningerne er altså de komplekse tal
-
(11)
Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på og udspænder en regulær -kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder. [1] [3]
Roden med betegnes normalt , de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som
- .
Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde , hvor
- .
Ligningen zⁿ = c

Lad være et givet komplekst tal med modulus og argument . Vi søger alle løsninger til ligningen
Dertil skriver vi også på polær form, og anvender igen de Moivres formel (10):
Denne ligning er opfyldt, hvis
- og eller
Ligningens løsninger er derfor
-
(12)
Eksempel |
|
(Eks. 5) |
Hvilke komplekse løsninger har ligningen ?
For denne ligning er og , så
Ved udregning fås værdierne
I det komplekse plan danner de til hørende punkter en regulær femkant, se figuren.
Kompleks andengradsligning
Ligningen z² = c
Her er et vilkårligt komplekst tal. Ligningen kan løses i både kartesiske og polære koordinater:
Løsning i kartesiske koordinater
Vi sætter og , hvor og er kendte reelle tal. Opgaven er da, at finde og .
Man må opdele i forskellige tilfælde:
- og har samme fortegn, dvs. :
- og har samme fortegn, dvs. :
- og har modsat fortegn, dvs. :
- og har modsat fortegn, dvs. :
- .
- Så må og dvs.
- Så må og dvs.
- Da , må også , så vi kan isolere i den anden ligning, , og indsætte dette i den første:
- .
- Denne fjerdegradsligningen er en iklædt andengradsligning med som ubekendt. Ligningens diskriminant er
- .
- Ifølge det forudsatte er , så løsningerne er
- .
- Da , bliver højresiden negativ, hvis fortegnet benyttes. Der er derfor kun én løsning for og af den følger :
- og selv kan være positive eller negative, men ligningen viser, at deres produkt skal have samme fortegn som . Fortegnet af et reelt tal er giver ved signum-funktionen, der defineres ved
- Signum-funktionen er implementeret i de fleste programmerinssprog; i dansk Excel er den fordansket til "FORTEGN".
- Vi kan nu opskrive ligningens løsning:
skal have samme fortegn som , dvs. skal have modsat fortegn af , dvs.
Konklusion:
Da de tre første specialtilfælde også dækkes ind af den generelle formel, er løsningerne i alle situationer givet ved
-
(13)
De to løsninger er hinandens modsatte tal.
Eksempel |
|
(Eks. 6) |
- Her er
Løsning i polære koordinater
Her kan man benytte resultatet fra afsnittet, der behandlede ligningen :
eller, da addition af betyder en drejning af løsningen på og dermed et fortegnsskift,
Denne metode giver løsningen ved færre regninger, men har den ulempe, at man skal bruge trigonometriske funktioner både ved bestemmelsen af argumentet og ved brugen af .
Eksempel |
|
(Eks. 7) |
Vi betragter igen ligningen
for hvilken og . Løsningerne bliver derfor
altså (naturligvis) samme resultat som ved regningen med kartesiske koordinater. Dog spiller afrundingsfejl en større rolle ved denne metode.
Rodsymboler og komplekse tal
For et vilkårligt ikke-negativt reelt tal, , kan man definere tallets kvadratrod, , som det tal, der ganget med sig selv giver :
Som angivet med eksistens-kvantoren er kvadratroden entydigt bestemt. Negative tal har ingen reel kvadratrod.
For de komplekse tal stiller sagen sig anderledes. Som vist i et tidligere afsnit, har alle komplekse tal, bortset fra , to forskellige (og modsatte) komplekse kvadratrødder. I eksempel 6 blev det vist, at
- .
Dette kunne også skrives
- ,
hvor kvadratrodssymbolet nu bruges til at angive en flertydig størrelse. Men hvis denne notation anvendes på reelle tal, opstår der uheldige skrivemåder som [3]
eller endog
I denne ligning indeholder venstre side et komplekst, flertydigt kvadratrodssymbol, medens højre side benytter et reelt, entydigt kvadratrodssymbol.
Det er derfor uhensigtsmæssigt at benytte rodsymboler i forbindelse med komplekse tal.
Generel andengradsligning
Den komplekse andengradsligning
kan omskrives med nøjagtig den samme fremgangsmåde, som i det reelle tilfælde til
hvor som i det reelle tilfælde kaldes andengradsligningens diskriminant.
Lad nu betegne den ene af de to løsninger til ligningen . Som vist i forrige afsnit er den anden løsning det modsatte tal, . Andengradsligningen har da de to løsninger
-
(14)
Bemærkning Som vist kan rødder i andengradspolynomier udtrykkes ved hjælp af kvadratrødder. Det viser sig, at bestemmelse af rødder i tredje- og fjerdegradspolynomier også kan udtrykkes ved hjælp af rodsymboler. Men for ligninger af grad 5 eller højere er dette ikke generelt muligt. Dette blev første gang bevist af den norske matematiker Niels Henrik Abel.
Eksempel |
|
(Eks. 8) |
Lad os løse den komplekse andengradsligning
- .
Vi identificerer
- ,
- ,
- ,
og beregner ligningens diskriminant til
Løsningerne til ligningen blev fundet i eksempel 7 og en af dem er
- .
De to rødder bliver derfor
- .
Komplekse funktioner
Reelle funktioner kan beskrives med en funktionsforskrift og illustreres grafisk i et koordinatsystem, hvor -aksen indeholder definitionsmængden og -aksen bruges til billedmængden. Det samme kan ikke gøres med funktioner med komplekse variable, , for et komplekst tal optager jo allerede to dimensioner. I stedet kan en kompleks funktion illustreres med to koordinatsystemer, et -system til definitionsmængden og et -system til billedmængden.
Kompleks konjugering
Konjugering blev defineret i afsnittet om elementære regneregler. Ved udregning konstaterer man, at der gælder følgende regler for kompleks konjugering:
Bemærk, at sum og produkt af og er reelle tal.
Kompleks lineær funktion
En kompleks lineær funktion har forskriften
(Hvis , bliver en konstant funktion, der afbilder alle punkter i den komplekse plan i det komplekse tal ).
Specielt er
- .

Dette illustreres på figuren med funktionen , der også viser, hvordan et kvadratisk net i -planet afbildes i et strakt, roteret og forskudt kvadratisk net i -planet. Matematisk set er der tale om en ligedannethed.
Vi betragter først to specialtilfælde:
- : Så er , dvs. funktionen foretager en parallelforskydning med .
- : Så er . For kortheds skyld kalder vi funktionsværdien for , .
- Vi har da
- : Multiplikation ud fra (0, 0) med .
- : Rotation omkring (0,0) med .
Herefter ser vi på det generelle tilfælde, hvor :
Funktionen har da netop et fikspunkt defineret ved, at :
- .
Betegner vi som ovenfor funktionsværdien med , kan vi omskrive således:
Heraf fremgår, at strækker og roterer som omtalt ovenover, men gør det centreret på fikspunktet . Det orange kvadrat, som vises i -planen på figuren, afbildes ved i det orange kvadrat i -planet. Det sker ved
- en strækning ud fra med det lineære forhold
- en rotation omkring på
Eksempel |
|
(Eks. 9) |
Beregning af et fikspunkt
For den komplekse lineære funktion på figuren er og . Heraf følger, at
Kompleks eksponentialfunktion
Den reelle eksponentialfunktion er defineret ved, at dens differentialkvotient er lig funktionen selv, altså
Som konsekvens heraf er
Desuden opfylder funktionalligningen
Eksponentialfunktionen med imaginært argument
Med baggrund i ovenstående resultat indfører man følgende definition:
Definition:
Eksponentialfunktionen med et imaginært argument defineres ved forskriften
At denne definition er fornuftig bestyrkes af nedenstående egenskaber:
Ifølge definitionen Ifølge parentesregneregler Ifølge additionsformler for og Ifølge definitionen
Eksponentialfunktionens funktionalligning, , er dermed også opfyldt for imaginære argumenter.
De elementære funktioner , og har følgende rækkeudviklinger gældende for alle
Hvis vi ønsker at kunne benytte disse også for komplekse tal, må der (da !) gælde at
i overensstemmelse med ovenstående resultat.
Eksponentialfunktionen med komplekst argument
Vi ønsker, at funktionalligningen gældende for reel skal gælde generelt:
- ,
hvilket fører til følgende definition af for et vilkårligt komplekst tal :
Definition:
Eksponentialfunktionen med et komplekst argument defineres ved forskriften
I nogle fremstillinger af de komplkse tal[2] vælger man i stedet at definere som den ovenfor viste uendelige sum, altså
Men det kræver et større forarbejde at vise, at denne sum er veldefineret, dvs. at den konvergerer for alle .
Egenskaber for exp
Funktionalligningen for eksponentialfunktionen kendt fra de reelle tal , forbliver gyldig ved udvidelsen til de komplekse tal , dvs. der gælder
- for alle
Af definitionen fremgår også, at
- for alle
Udregningen
viser, at er periodisk med en imaginær periode på . Geometrisk betyder det, at alle komplekse tal, som i den komplekse talplan ligger på en linje parallel med den imaginære akse og med en indbyrdes afstand på ved afbildes i det samme tal. Med andre ord er ikke injektiv og har derfor ikke nogen invers funktion.

Illustrationen viser med grå farver strimler med en bredde på . Strimlerne karakteriseres med et helt tal og defineres som
Når man vil undersøge, hvordan afbilder -planet ind i -planet, kan man derfor begrænse sig til en strimmel af bredden , for eksempel strimlen
Linjer i denne strimmel, som er parallelle med den reelle akse og som har afstanden (regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen
- .
Et punkt på linjen afbildes ved i punktet
- .
Når parameteren gennemløber intervallet , gennemløber billedpunktet en åben halvlinie gående ud fra under vinklen .
Liniestykker i denne strimmel, som er parallelle med den imaginære akse og som har afstanden (regnet med fortegn), kan beskrives med parameterfremstillingen
- .
Et punkt på liniestykket afbildes ved i punktet
- .
Når parameteren gennemløber intervallet , gennemløber billedpunktet en cirkel med centrum i og radius . Disse forhold illustreres på nedenstående figur.

Kompleks logaritmefunktion
Som vist i forrige afsnit er der komplekse eksponentialfunktion ikke injektiv, idet den afbilder enhver af striberne ind i de komplekse tal. Den har derfor ikke nogen invers (omvendt) funktion. Men hvis man begrænser dens definitionsmængde til én af disse striber, bliver den invertérbar. Hvis man begrænser sig til hovedstriben
kan man regne sig frem til en forskrift for den inverse funktion[3]. Betegner vi den begrænsede udgave af eksponentialfunktionen med og dens inverse funktion med , har vi
eller på koordinatform
Vi bestemmer og :
Forskriften for , der kaldes logaritmens hovedværdi, er derfor: