Præordning

Matematisk Præordning vil sige en præordnet mængde, som er en mængde med en relation ${\displaystyle \leq }$, som angiver hvilket af to elementer der er størst.

Egenskaber

For at relationen ${\displaystyle \leq }$ skal kaldes en præordning skal den have følgende egenskaber:

Refleksivitet

• ${\displaystyle x\leq x}$.

Transitivitet

• ${\displaystyle x\leq y}$ og ${\displaystyle y\leq z}$ medfører ${\displaystyle x\leq z}$.

Vigtige krav

De vigtigste typer af præordninger er givet ved at forlange at et af følgende krav er opfyldt:

Symmetri

En præordning siges at være symmetrisk dersom ${\displaystyle x\leq y}$ medfører ${\displaystyle y\leq x}$. En symmetrisk præordning kaldes en ækvivalensrelation. Lighedstegn, ligedannethed og ensbetydende er eksempler på ækvivalensrelationer.

Antisymmetri

En præordning siges at være antisymmetrisk dersom ${\displaystyle x\leq y}$ og ${\displaystyle y\leq x}$ medfører ${\displaystyle x=y}$. En antisymmetrisk præordning kaldes en ordning

Vilkårlig præordning

For en vilkårlig præordning ${\displaystyle \leq }$ kan man definere en ækvivalensrelation ved at sætte ${\displaystyle x\equiv y}$ netop hvis ${\displaystyle x\leq y}$ og ${\displaystyle y\leq x}$. Da definerer ${\displaystyle \leq }$ en ordning af ækvivalensklasserne.