Stamfunktion

Man beregner en stamfunktion ved at anvende integralregning.^[1]

Ubestemt integral og stamfunktion

Hvis funktionen ${\displaystyle F(x)}$ har differentialkvotienten ${\displaystyle F^{\prime }(x)=f(x)}$, siger man, at ${\displaystyle F}$ er en stamfunktion til (eller for) ${\displaystyle f}$, og skriver

${\displaystyle F(x)=\int f(x)\,\operatorname {d} x}$,

eller

${\displaystyle \int f(x)\,\operatorname {d} x=F(x)+k}$

hvor ${\displaystyle k}$ er en ubestemt konstant og et reelt tal, idet enhver funktion af formen ${\displaystyle F(x)+k}$ også vil have differentialkvotienten ${\displaystyle f(x)}$.

Tabel over stamfunktioner samt differentialkvotienter til udvalgte funktioner^[2] ${\displaystyle f(x)}$:

stamfunktion ${\displaystyle F(x)}$	funktion ${\displaystyle f(x)}$	differentialkvotient ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$
${\displaystyle kx}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle x}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {1 \over 2}x^{2}}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {1 \over 3}x^{3}}$	${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle 2x}$
${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}x^{n+1}}$	${\displaystyle x^{n},n\neq -1}$	${\displaystyle nx^{n-1}}$
${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle e^{x}}$
${\displaystyle \ln(|x|)}$	${\displaystyle x^{-1}}$	${\displaystyle -x^{-2}}$
${\displaystyle -\cos(x)}$	${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \cos(x)}$
${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle -\sin(x)}$
${\displaystyle -\ln |\cos(x)|}$	${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle \tan(x)^{2}+1}$

Bemærk, at integrationskonstanten ${\displaystyle k}$ er udeladt.

Bestemt integral og areal

Et areal under grafen for en funktion ${\displaystyle f}$ kan findes ved formlen:^[3]

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,\operatorname {d} x=F(b)-F(a)}$

Hvor ${\displaystyle A}$ er arealet under grafen. ${\displaystyle b}$ er afgrænsningen af arealet mod højre. ${\displaystyle a}$ er afgrænsningen af arealet mod venstre.

(Antaget at man regner med et koordinatsystem som er positivt mod højre)

Dette forudsætter, at funktionen er kontinuert og ikke-negativ i intervallet ${\displaystyle [a,b]}$.

Her ses arealet illustreret, dog med S som notering for arealet.

Software kan beregne stamfunktion

Xcas kan beregne stamfunktion med kommandoen:^[4] int(funktion,${\displaystyle x}$)

Maple og Mathematica kan også beregne stamfunktion.

Bøger

• Hebsgaard, Thomas m.fl. (1989): Matematik Grundbog 2. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-13-2
• Hebsgaard, Thomas m.fl. (1990): Matematik Højniveau 2. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-17-5
• Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1984): Matematik : 2F: Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7