Eine Menge heißt außerdem -invariant, falls sie mit ihrem Urbild übereinstimmt, wenn also gilt. Das Mengensystem aller -invarianten Mengen bildet hierbei eine σ-Algebra. Analog dazu heißt eine Menge quasi-invariant, falls die symmetrische Differenz der Menge mit ihrem Urbild bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes eine Nullmenge bildet, also wenn gilt .
Eine maßerhaltende Transformation heißt nun ergodisch, falls für alle -invarianten Mengen gilt, dass . Die Mengen bilden also eine P-triviale σ-Algebra. Das 4-Tupel bestehend aus Wahrscheinlichkeitsraum und ergodischer maßerhaltender Abbildung heißt dementsprechend ergodisches dynamisches System.
Neben dieser Definition gibt es eine Reihe äquivalenter Charakterisierungen. Falls ein maßerhaltendes dynamisches System ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
ist ergodisches maßerhaltendes System.
Für jede quasi-invariante Menge gilt entweder oder .
Jede -messbare Funktion ist -fast sicher konstant.
Betrachte das System bestehend aus der Menge , der Borel-σ-Algebra, dem Lebesguemaß und der Abbildung . Dieses System ist für alle maßerhaltend. Es ist zudem genau dann ergodisch, wenn nicht rational ist, sprich wenn gilt .
Bernoulli-Shift
Auch beim Bernoulli-Shift handelt es sich um eine ergodische Abbildung: Betrachte den Grundraum der --Folgen mit zugehöriger Produkt-σ-Algebra und zugehörigem unendlichen Produktmaß definiert durch . Bei der Bernoulli-Abbildung handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum , das heißt ist definiert als
Dann ist das 4-Tupel ein ergodisches dynamisches System.
Gauß-Abbildung
Sei der Grundraum und die entsprechende Borelsche σ-Algebra. Definiere die Gauß-Abbildung durch
Falls nun als Maß das Gaußmaß, , gewählt wird, so handelt es sich bei um ein ergodisches dynamisches System.
Die heute als Ergodensatz bekannte Übereinstimmung von Zeit- und Raummittel (Proportionalität der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zum Volumen eines räumlichen Gebiets) wurde 1877 von Boltzmann formuliert und von Birkhoff 1932 mathematisch bewiesen, wobei man für den mathematischen Beweis eine Nullmenge von Punkten ausschließen muss. Vor Birkhoff hatten bereits von Neumann und Hopf einen L2-Ergodensatz bewiesen. Den ersten Ergodizitätsbeweis in einer speziellen Situation fand 1924 Artin für den geodätischen Fluss auf der Modulfläche.
Neben ihrer ursprünglichen Herkunft aus der statistischen Physik hat Ergodentheorie heute Anwendungen in zahlreichen Gebieten der Physik und Mathematik bis hin zu Geometrie und Zahlentheorie.
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