Liste kleiner Gruppen
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Können Sie die wichtigsten Fakten und Statistiken dazu auflisten Liste kleiner Gruppen?
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Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.
Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.
In der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet:
- ist die zyklische Gruppe der Ordnung (die auch als oder geschrieben wird).
- ist die Diedergruppe der Ordnung .
- ist die symmetrische Gruppe vom Grad , mit n! Permutationen von Elementen.
- ist die alternierende Gruppe vom Grad , mit Permutationen von Elementen für .
- ist die dizyklische Gruppe der Ordnung .
- ist die Klein’sche Vierergruppe der Ordnung .
- ist die Quaternionengruppe der Ordnung für .
Die Notation wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen und zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen , mit aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.
Es ist zu beachten, dass bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ gibt (nicht die Nebenklasse von ).
Zu jeder Ordnung wird zunächst die zyklische Gruppe angegeben, dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen: