Präferenzrelation
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In der Mikroökonomik bezeichnet man als Präferenzrelation allgemein eine Rangfolge, in der zwei Güterbündel („Alternativen“) danach angeordnet sind, wie sie ein Marktteilnehmer oder eine Gruppe von Marktteilnehmern einander vorzieht. Formal handelt es sich bei einer Präferenzrelation um eine binäre Relation.
Beispielsweise ist eine Präferenzrelation (die so genannte Präferenz-Indifferenz-Relation, auch: schwache Präferenzrelation), die anzeigt, dass ihre erste Komponente als strikt besser als oder gleich gut wie die zweite empfunden wird. Präferiert eine Person beispielsweise eine Alternative (schwach) gegenüber , dann ist das Tupel in der Menge enthalten (der Index soll andeuten, dass es sich um die Präferenzen von Person handelt).
Andere Präferenzrelationen sind die strikte Präferenzrelation („strikt besser als“) sowie die Indifferenzrelation („gleich gut wie“); auf eine gesonderte Definition der umgekehrten Konstellationen („schlechter als oder gleich gut wie“ bzw. „strikt schlechter als“) wird üblicherweise verzichtet, da man die zugrunde liegenden Präferenzstrukturen durch Vertauschung der Komponenten auch in der hier definierten Weise formulieren kann.
Man bezeichnet eine Präferenzrelation als Präferenzordnung, wenn sie gewisse Minimalanforderungen erfüllt (siehe Abschnitt #Präferenzordnung). Ist dies der Fall, wird auch von der Rationalität der Präferenz-Indifferenz-Relation gesprochen. Die Präferenzordnung ist ein wichtiges Rationalitätskonzept innerhalb der Wirtschaftswissenschaften. Ein anderes Axiomsystem für einen rationalen Entscheider stammt von John von Neumann und Oskar Morgenstern.[1]
Die erste axiomatische Fundierung der Präferenzrelation wurde 1926 von Ragnar Frisch vorgelegt.[2][3] Nach der Pionierarbeit durch Frisch in den 1920ern lag das Hauptaugenmerk darauf, wie man eine Präferenzstruktur auf eine reellwertige Funktion abbilden könne. Dies wurde durch das Konzept der Nutzenfunktion erreicht, eine mathematische Modellierung von Präferenzen. Gérard Debreu leistete 1954 einen wichtigen Beitrag zum Zusammenhang von Präferenzrelation und Nutzenfunktion: sein Repräsentationstheorem (auch Satz von Debreu genannt).[4]
Man geht im -Güter-Fall von einer Menge
aus, in der sämtliche existierende Güterbündel („Alternativen“) enthalten sind. Ein Güterbündel enthält das Gut mit der Menge für . Die Elemente von sind Güterbündel und damit -Tupel , sodass beispielsweise die Menge von Gut 3 im Güterbündel anzeigt. Für Tupel gilt, anders als für Mengen, dass die Reihenfolge der Objekte eine Rolle spielt.
Präferenzrelationen sind binäre Relationen auf , das heißt, sie sind Untermengen von . Betrachtet sei im Folgenden zunächst nur die so genannte Präferenz-Indifferenz-Relation ( wie beschrieben). Im so definierten sind alle geordneten Paare enthalten, für die gilt, dass schwach gegenüber bevorzugt wird. Man verwendet fortan die Schreibweise für . Man kann ohne Umwege auch direkt als „ist besser als oder gleich gut wie“ lesen.
Durch werden zwei weitere Relationen – abermals Untermengen von – induziert. Zum einen die Indifferenzrelation , zum anderen die Präferenz-Relation . Ihre Bedeutung ergibt sich aus der von : Für zwei Alternativen und ist genau dann bzw. , wenn und zugleich . kann man dann als „ist gleich gut wie“ lesen. Analoges gilt für : Für zwei Alternativen und ist genau dann bzw. , wenn , aber nicht zugleich . liest man als „ist besser als“.
Anstelle der Buchstaben , und für die Relationen sind auch Symbole gebräuchlich. Es ist dann sowie und .
Will man ausdrücken, dass man sich auf die Präferenzstruktur einer konkreten Person bezieht, kann man die Relation entsprechend indexieren; so steht dann zum Beispiel dafür, dass Person die Alternative strikt gegenüber vorzieht.