Unendlichdimensionales Lebesgue-Maß
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Als unendlichdimensionales Lebesgue-Maß bezeichnet man ein nicht-triviales Analogon des Lebesgue-Maßes auf unendlichdimensionalen Räumen. Auf polnischen Räumen, welche nicht lokalkompakt sind, existiert ein solches Maß nicht. Insbesondere gilt dies auch für unendlichdimensionale separable Banach-Räume, da dort der Satz von Heine-Borel nicht gilt, sind diese auch nicht lokalkompakt. Es lassen sich allerdings analoge Maße konstruieren, wenn man die Eigenschaften des Lebesgue-Maßes (σ-Endlichkeit, σ-Additivität usw.) abschwächt oder Translationen auf kleinere Räume beschränkt.
Das klassische Beispiel, welches kein Lebesgue-Maß besitzt, ist der abzählbar-unendliche Produktraum
ausgestattet mit der Produkttopologie und der borelschen σ-Algebra . Dieser Raum wird auch häufig mit notiert. Möchte man nun das unendliche Produkt der Lebesgue-Maße definieren, so existiert dieses nicht.