Weierstraßsche ℘-Funktion
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In der Mathematik bezeichnet die Weierstraßsche ℘-Funktion (sprich „… p-Funktion“, siehe Weierstraß-p) eine bestimmte elliptische Funktion in Abhängigkeit eines Gitters. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Karl Weierstraß. Mithilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion und ihrer Ableitung lassen sich elliptische Kurven über den komplexen Zahlen parametrisieren.
Seien zwei komplexe Zahlen, welche über linear unabhängig sind und sei :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}} das Gitter, das von und erzeugt wird. Dann ist die ℘-Funktion zum Gitter wie folgt definiert:
Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig absolut in . Häufig wird statt auch nur geschrieben.
Die Weierstraßsche ℘-Funktion ist gerade so konstruiert, dass sie einen Pol der Ordnung 2 an jeder Stelle hat. Da die Summe alleine nicht absolut konvergieren würde, ist es nötig, den Term hinzuzufügen.[1]
Eine Kubik der Form , wobei komplexe Zahlen sind mit , lässt sich nicht rational parametrisieren.[2] Dennoch würde man gerne eine Parametrisierung finden.
Für die Quadrik , also den Einheitskreis, existiert bekanntlich eine (nichtrationale) Parametrisierung durch die Sinusfunktion und deren Ableitung, die Kosinusfunktion:
- :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K} , .
Wegen der Periodizität des Sinus und des Kosinus ist hier als Definitionsbereich gewählt, um eine injektive Abbildung zu erhalten.
Auf ganz analoge Weise erhält man auch eine Parametrisierung der Kubik mit der doppeltperiodischen ℘-Funktion (siehe im Abschnitt „Zusammenhang mit elliptischen Kurven“). Diese Parametrisierung hat dann den Definitionsbereich , was topologisch einem Torus entspricht.[3]
Es gibt noch eine weitere Analogie zu den trigonometrischen Funktionen. Betrachtet man die Integralfunktion
- ,
dann lässt sich diese durch die Substitution und vereinfachen. Dadurch ergibt sich:
Das bedeutet, . Also erhält man den Sinus als Umkehrfunktion einer Integralfunktion.[4]
Auch elliptische Funktionen sind Umkehrfunktionen von Integralfunktionen, den elliptischen Integralen. Insbesondere erhält man die ℘-Funktion auf folgende Weise:
Sei
- .
Dann lässt sich auf die komplexe Ebene fortsetzen und entspricht der ℘-Funktion.[5]
- ℘ ist eine gerade Funktion. Das heißt, es gilt für alle , wie man auf folgende Weise sieht:
Die vorletzte Gleichheit folgt daraus, dass :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda } . Da die Summe absolut konvergiert, ändert diese Umordnung am Grenzwert nichts.
- ℘ ist meromorph und die Ableitung ist gegeben durch
- .[6]
- und sind doppeltperiodisch mit den Perioden und . Das bedeutet, es gilt[6]:
- und .
Daraus folgt, dass für alle gilt: und . Funktionen, die meromorph und doppeltperiodisch sind, nennt man auch elliptische Funktionen.
Sei . Dann hat die ℘-Funktion für folgende Laurent-Reihe:
- ,
wobei
- für sogenannte Eisensteinreihen sind.[6]
Wir setzen und . Dann erfüllt die ℘-Funktion folgende Differentialgleichung[6]:
- .
Dies lässt sich verifizieren, indem man den Pol an der Stelle durch eine Linearkombination von Potenzen von und eliminiert. Dann erhält man eine ganze, elliptische Funktion, die nach dem Satz von Liouville konstant sein muss.
Die Koeffizienten und , die in der Differentialgleichung auftauchen, heißen die Invarianten. Man betrachtet und als Funktionen in und und definiert die Diskriminante :=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}} .
Wie man an der Eisensteinreihe erkennen kann, sind und homogene Funktionen vom Grad −4 und −6. Das heißt, es gilt:
- , , für .[7]
Wenn und so gewählt sind, dass , können und als Funktionen in einer komplexen Variablen in der oberen Halbebene :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}} aufgefasst werden.
Dazu setzt man und erhält:
- , und .[7]
Also werden , und dadurch nur skaliert. Man setzt nun:
- , ,
Damit erhält man sogenannte Modulformen. Auch die ℘-Funktion kann auf diese Weise als Modulform aufgefasst werden.