Beth-Funktion

Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als ${\displaystyle \beth }$ geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.

Definition

Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha }$ eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ zu:^[1]

• ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$, wobei ${\displaystyle \aleph _{0}}$ die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}}$ für Nachfolger-Ordinalzahlen ${\displaystyle \alpha +1}$. Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
• ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\beth _{\alpha }}$ für Limes-Ordinalzahlen ${\displaystyle \lambda }$.

Bemerkungen

Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit ${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$, denn ${\displaystyle \beth _{1}}$ ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu ${\displaystyle \aleph =\beth }$, das heißt ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$ für alle Ordinalzahlen ${\displaystyle \alpha }$.

Eine Limes-Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$ heißt ein starker Limes, wenn ${\displaystyle \mu ^{\lambda }<\kappa }$ für alle Kardinalzahlen ${\displaystyle \lambda ,\mu <\kappa }$. Eine Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$ ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn ${\displaystyle \kappa =\beth _{\xi }}$ für eine Limes-Ordinalzahl ${\displaystyle \xi }$ ist.^[2]

Es gilt ${\displaystyle \alpha \leq \aleph _{\alpha }\leq \beth _{\alpha }}$ für alle Ordinalzahlen ${\displaystyle \alpha }$. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen ${\displaystyle \alpha }$, für die ${\displaystyle \alpha =\beth _{\alpha }}$ gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge ${\displaystyle \beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\ldots }$, der informal als ${\displaystyle \beth _{\beth _{{}_{\ddots }}}}$ dargestellt wird. Ebenso sind stark unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Beth-Funktion.