Apothema

Das Apothema (altgriechisch ἀπόθεμα ‚Ablage‘) einer Kreissehne ist ihr Abstand vom Mittelpunkt des Kreises, also die Länge des Lotes vom Mittelpunkt auf die Sehne.^[1]

Das Apothema eines regelmäßigen Vielecks^[2] ist das Apothema seiner Kanten (als Sehnen im Umkreis) und gleichzeitig sein Inkreisradius.

Berechnung

Apothema der Sehne AB (mit Mittelpunkt L) eines Kreises (um M) ist die Länge a = ML.

Ist ${\displaystyle r}$ der Kreisradius und ${\displaystyle l}$ die Länge der Kreissehne, dann gilt nach dem Satz des Pythagoras für das Apothemas ${\displaystyle a}$

${\displaystyle r^{2}=a^{2}+{\frac {l^{2}}{4}}}$

und damit

${\displaystyle a={\sqrt {r^{2}-{\tfrac {l^{2}}{4}}}}}$.

Das Apothema eines regelmäßigen n-Ecks der Kantenlänge ${\displaystyle l}$ ist

${\displaystyle a={\frac {l}{2\,\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}}}}$.

Damit kann sein Flächeninhalt zu ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot n\cdot l\cdot a}$ ermittelt werden. Für verschiedene ${\displaystyle n}$ ergeben sich die folgenden Werte:

regelmäßiges Vieleck	Seitenlänge	Apothema	Fläche
Dreieck	${\displaystyle l=r\cdot {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle a=r\cdot {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle A=r^{2}\cdot {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}}$
Viereck	${\displaystyle l=r\cdot {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle a=r\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle A=r^{2}\cdot 2}$
Fünfeck	${\displaystyle l=r\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(5-{\sqrt {5}})}}}$	${\displaystyle a=r\cdot {\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})}$	${\displaystyle A=r^{2}\cdot {\tfrac {5}{8}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}}$
Sechseck	${\displaystyle l=r\,}$	${\displaystyle a=r\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle A=r^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}}$
Achteck	${\displaystyle l=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle a=r\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle A=r^{2}\cdot 2{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle n}$-Eck	${\displaystyle l=r\cdot 2\cdot \sin {\tfrac {180^{\circ }}{n}}}$	${\displaystyle a=r\cdot \cos {\tfrac {180^{\circ }}{n}}}$	${\displaystyle A=r^{2}\cdot {\tfrac {n}{2}}\cdot \sin {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$
${\displaystyle n\to \infty }$ (Kreis)	${\displaystyle l\to 0}$	${\displaystyle a\to r}$	${\displaystyle A\to r^{2}\cdot \pi }$

Siehe auch

• Sagitta-Methode

Weblinks

Commons: Chord (geometry) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Apothema – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Apothem. In: MathWorld (englisch).
• Sagitta, Apothem, and Chord Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project