Clifford-Modul-Bündel

Ein Clifford-Modul-Bündel ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es wird insbesondere in der Spin-Geometrie zur Untersuchung von Spin-Strukturen genutzt. Es handelt sich um ein Vektorbündel, dessen Fasern Clifford-Moduln – also Darstellungsräume einer Clifford-Algebra sind. Ein kanonisches Beispiel für Clifford-Modul-Bündel sind die Spinorbündel.^[1] Eine andere Klasse dieser Bündel sind die Dirac-Bündel.

Der Begriff Clifford-Modul-Bündel sollte nicht mit dem des Clifford-Bündels, das ein Vektorbündel von Clifford-Algebren ist, verwechselt werden.

Definition

Es sei ${\displaystyle M}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension. Ein Clifford-Modul-Bündel über ${\displaystyle M}$ ist ein Vektorbündel ${\displaystyle {\mathcal {E}}\rightarrow M}$, dessen Fasern ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{p}}$ Clifford-Moduln sind.

Anders ausgedrückt, ist ein Clifford-Modul-Bündel über ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-graduiertes Vektorbündel ${\displaystyle {\mathcal {E}}\rightarrow M}$ mit einer graduierten Aktion

${\displaystyle \Gamma (M,C\ell (M))\times \Gamma ({\mathcal {E}})\to \Gamma ({\mathcal {E}}),\ \ (a,s)\mapsto c(a)s}$,

wobei ${\displaystyle C\ell (M)}$ das Clifford-Bündel und ${\displaystyle c}$ die entsprechende Clifford-Multiplikation sind.^[2]