D-Modul

In der Mathematik ist ein D-Modul ein Modul über einem Ring von Differentialoperatoren.

Definition

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle 0}$ und sei ${\displaystyle A_{n}(K)}$ die Algebra der Polynome in den Variablen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}$ mit den Kommutator-Relationen

${\displaystyle \left[x_{i},x_{j}\right]=\left[\partial _{i},\partial _{j}\right]=\left[\partial _{i},x_{j}\right]=0}$ für alle ${\displaystyle i\not =j}$

${\displaystyle \left[\partial _{i},x_{i}\right]=1}$ für alle ${\displaystyle i}$.

Es folgt für jedes Polynom ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ die Beziehung

${\displaystyle \left[\partial _{i},f\right]={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}.}$

Ein D-Modul ist ein Linksmodul über dem Ring ${\displaystyle A_{n}(K)}$.

Beispiele

• ${\displaystyle A_{n}(K)}$ ist ein D-Modul.
• Der Polynomring ${\displaystyle K\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$ wird ein D-Modul, indem man ${\displaystyle x_{i}}$ durch Linksmultiplikation und ${\displaystyle \partial _{i}}$ durch partielle Ableitung nach ${\displaystyle x_{i}}$ wirken lässt.
• Für ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ ist der Ring der (reell bzw. komplex) differenzierbaren Funktionen in ${\displaystyle n}$ Variablen ein D-Modul, indem man ${\displaystyle x_{i}}$ durch Linksmultiplikation mit der ${\displaystyle i}$-ten Variablen und ${\displaystyle \partial _{i}}$ durch partielle Ableitung nach der ${\displaystyle i}$-ten Variablen wirken lässt.

Literatur

• S.C.Coutinho: A primer of algebraic D-modules. London Mathematical Society Student Texts. 33. Cambridge: Cambridge Univ. Press. xii, 207 p. (1995)