Descartes-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Descartes-Zahl eine ungerade Zahl, die eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn einer ihrer zusammengesetzten Faktoren eine Primzahl wäre. Sie sind nach René Descartes benannt, der beobachtete, dass die Zahl ${\displaystyle D=3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}\cdot 22021=(3\cdot 1001)^{2}\cdot (22\cdot 1001-1)=198585576189}$ eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn ${\displaystyle 22021}$ eine Primzahl wäre.

Unter der Annahme, dass ${\displaystyle 22021}$ eine Primzahl ist, gilt nämlich für die Summe der Teiler:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D.\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle 22021=19^{2}\cdot 61}$ keine Primzahl ist, handelt es sich aber um keine ungerade vollkommene Zahl. Es ist eine offene Frage, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt (siehe Artikel Vollkommene Zahl).

Definition

Eine Descartes-Zahl ist definiert als eine ungerade Zahl ${\displaystyle n=m\cdot p}$, wobei ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle p}$ teilerfremd sind und ${\displaystyle 2n=\sigma (m)\cdot (p+1)}$ gilt, wobei ${\displaystyle p}$ als „unechte“ Primzahl angesehen wird.^[1] Das oben angegebene Beispiel ist das einzige, das derzeit bekannt ist.

Wenn ${\displaystyle m}$ eine ungerade fast vollkommene Zahl ist, d. h. ${\displaystyle \sigma (m)=2m-1}$ gilt und ${\displaystyle 2m-1}$ als „unechte“ Primzahl angenommen wird, dann ist ${\displaystyle n=m\cdot (2m-1)}$ eine Descartes-Zahl, denn ${\displaystyle \sigma (n)=\sigma (m\cdot (2m-1))=\sigma (m)\cdot 2m=(2m-1)\cdot 2m=2n}$.

Wäre ${\displaystyle 2m-1}$ eine Primzahl, wäre ${\displaystyle n}$ eine ungerade vollkommene Zahl.

Eigenschaften

Banks et al. konnten in 2008 zeigen, dass wenn ${\displaystyle n}$ eine nicht durch ${\displaystyle 3}$ teilbare und kubikfreie (also nicht teilbar durch eine Kubikzahl größer 1, vgl. quadratfrei) Descartes-Zahl ist, ${\displaystyle n=k\sigma (k)}$ gilt für eine ungerade fast vollkommene Zahl ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle n}$ mehr als eine Million verschiedener Primteiler besitzt.^[2]

Zudem zeigten sie, dass die von Descartes entdeckte Zahl ${\displaystyle D=3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}\cdot 22021}$ die einzige kubikfreie Descartes-Zahl ist, die weniger als sieben verschiedene Primteiler besitzt.

Verallgemeinerung

Eine Möglichkeit, den Begriff der Descartes-Zahl zu verallgemeinern, besteht darin, auch negative Basen zuzulassen. John Voight fand das Beispiel ${\displaystyle 3^{4}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 19^{2}\cdot (-127)^{1}}$.^[3]

Siehe auch

• Erdős-Nicolas-Zahl, eine andere Art von fast vollkommener Zahl