Hier sollen nur die spezifisch kontinuumsmechanischen Aspekte beschrieben werden, mehr ist im Hauptartikel nachzuschlagen. Die Kinematik gibt in der Kontinuumsmechanik Transformationsgleichungen für Größen in der Ausgangskonfiguration in die entsprechenden Größen in der Momentankonfiguration und leitet daraus Verzerrungsmaße ab.

Der materielle Körper

Der materielle Körper als Träger der physikalischen Prozesse erfüllt gleichmäßig Teile des Raumes unserer Anschauung. In der Kontinuumsmechanik wird der Körper mittels Konfigurationen bijektiv in einen euklidischen Vektorraum $\mathbb {V} ^{3}$ abgebildet, wobei die Eigenschaften des Körpers kontinuierlich über den Raum verschmiert werden. Mithilfe dieser Idealisierung wird der Körper als Punkt-Menge beschrieben, in der Gradienten und Integrale gebildet werden können.

Daraus ergeben sich zwei Konsequenzen:

Es gibt eine Größenskala, unterhalb derer die Aussagen der Kontinuumsmechanik ihre Gültigkeit verlieren. Diese Größenskala liegt oberhalb der Abmessungen des Repräsentativen-Volumen-Elementes (RVE), aus identischen Kopien von welchem der materielle Körper aufgebaut gedacht wird. Das RVE eines Kristalls kann beispielsweise eine Elementarzelle sein.
Ein innerer Punkt des Körpers bleibt immer ein innerer Punkt, weswegen die Beschreibung der Ausbreitung von Rissen mit Aussagen der klassischen Kontinuumsmechanik nicht möglich ist. Mit der Reaktion von Körpern auf Risse und der Rissausbreitung beschäftigt sich die Bruchmechanik, die ihrerseits auf das Vorhandensein eines Risses angewiesen ist.

Für einen Körper werden folgende Konfigurationen benutzt:

Die Referenz- oder Bezugskonfiguration $\kappa _{R}(P)$ , die der Identifikation der materiellen Punkte $P$ dient. Die Ausgangskonfiguration ${\vec {X}}=\kappa _{0}(P)$ des Körpers zu einem gesetzten Zeitpunkt ${t}_{0}$ ist zeitlich fixiert und kann und soll als Referenzkonfiguration dienen. Weil diese Position einmal vom Körper eingenommen wurde, liefert diese Referenzkonfiguration ein Objekt unserer Anschauung.
Die Momentankonfiguration ${\vec {x}}=\kappa _{t}(P)$ bildet den deformierten Körper zur Zeit $t$ ab.

Die Verknüpfung dieser Konfigurationen

{\begin{array}{lll}{\vec {\chi }}:=\kappa _{t}\circ \kappa _{0}^{-1}:&V\subset \mathbb {V} ^{3}&\rightarrow v\subset \mathbb {V} ^{3}\\&{\vec {X}}&\mapsto {\vec {x}}\end{array}}

heißt Bewegungsfunktion und soll so oft stetig differenzierbar sein, wie es im jeweiligen Kontext notwendig ist.^[3]^:35

Materielle und räumliche Koordinaten

Die materiellen Koordinaten ${\vec {X}}$ eines materiellen Punktes $P$ sind die Koeffizienten seines Ortsvektors in der Ausgangskonfiguration:

{\vec {X}}=\kappa _{0}(P)\in V\subset \mathbb {V} ^{3}\,.

Die Momentankonfiguration gibt zu jedem Zeitpunkt die räumlichen Koordinaten ${\vec {x}}$ des materiellen Punktes $P$ im Raum:

{\vec {x}}=\kappa _{t}(P)=\kappa _{t}(\kappa _{0}^{-1}({\vec {X}}))=:{\vec {\chi }}({\vec {X}},t)\in v\subset \mathbb {V} ^{3}\,.

Die Bewegungsfunktion ${\vec {\chi }}({\vec {X}},t)$ beschreibt bei festgehaltenem ${\vec {X}}$ die Bahnlinie eines materiellen Punktes durch den Raum. Wegen der Bijektivität kann die Bewegungsfunktion jederzeit invertiert werden:

{\vec {X}}={\vec {\chi }}^{-1}({\vec {x}},t)\in V\subset \mathbb {V} ^{3}\,.

Bei festgehaltenem Raumpunkt ${\vec {x}}$ liefert die Bewegungsfunktion ${\vec {\chi }}^{-1}({\vec {x}},t)$ die Streichlinie durch den Raumpunkt.

Wegen der Eineindeutigkeit der Konfigurationen bei der Beschreibung des materiellen Körpers können alle einem materiellen Punkt zugeordneten Größen (z. B. Dichte, Temperatur und Geschwindigkeit) in Abhängigkeit von seinen materiellen oder räumlichen Koordinaten beschrieben werden.

Lagrange’sche Betrachtungsweise

Soll die Bewegung eines materiellen Punktes beobachtet werden und welche physikalischen Bedingungen in ihm herrschen, liegt es nahe, die dem materiellen Punkt zugeordneten Größen in Abhängigkeit von den materiellen Koordinaten aufzuschreiben, denn diese sind für jeden materiellen Punkt konstant. So ergibt sich die materielle oder Lagrange’sche Betrachtungsweise (nach Joseph-Louis Lagrange), die in der Festkörpermechanik bevorzugt wird.

Euler’sche Betrachtungsweise

Sollen andererseits die physikalischen Prozesse an einem festen Raumpunkt verfolgt werden, liegt es nahe, die physikalischen Größen in Abhängigkeit von den räumlichen Koordinaten zu notieren. Das ist die räumliche oder Euler’sche Betrachtungsweise, die in der Strömungsmechanik benutzt wird.

Schreibweisen

Wenn nicht anders angegeben, werden Größen in der Lagrange’schen Betrachtungsweise mit Großbuchstaben oder dem Index ${(\;)}_{0}$ und solche der Euler’schen mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Das gilt auch für die #Differentialoperatoren: Die materiellen Operatoren DIV, GRAD und der Nabla-Operator 𝜵₀ beinhalten die materiellen Ableitungen nach den materiellen Koordinaten ${\vec {X}}$ . Die räumlichen Operatoren div, grad sowie 𝜵 in der räumlichen Formulierung bilden die räumlichen Ableitungen nach den räumlichen Koordinaten ${\vec {x}}$ .

Lokale und materielle Zeitableitung

Die Zeitableitung einer einem materiellen Punkt zugeordneten Größe, z. B. der Temperatur $T$ , kann bei festgehaltenem Raumpunkt ${\vec {x}}$ oder festgehaltenem materiellen Punkt ${\vec {X}}$ ausgewertet werden. Ersteres ist die lokale Zeitableitung letzteres die materielle oder substantielle Ableitung. Weil sich die Naturgesetze in der Mechanik auf materielle Punkte beziehen, ist die substantielle Zeitableitung hier physikalisch bestimmend.

Die substantielle Zeitableitung ${\tfrac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}$ ist in der Lagrange’schen Betrachtungsweise die partielle Ableitung nach der Zeit

{\dot {T}}_{0}({\vec {X}},t):={\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}T_{0}({\vec {X}},t):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}T_{0}({\vec {X}},t)\right|_{{\vec {X}}\;{\text{fest}}}={\frac {\partial }{\partial t}}T_{0}({\vec {X}},t)

und wird hier auch mit dem aufgesetzten Punkt gekennzeichnet. In der Euler’schen Darstellung bildet sich die materielle Zeitableitung mit dem Nabla-Operator 𝜵 und ${\tfrac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla$ :

{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}T({\vec {x}},t)={\frac {\partial T}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla )T={\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla T={\frac {\partial T}{\partial t}}+\operatorname {grad} (T)\cdot {\vec {v}}

Der zweite Term resultiert daraus, dass das Partikel in einen wärmeren oder kälteren Bereich eintritt (Konvektion). Analog bildet sich die materielle Zeitableitung einer vektoriellen Größe, beispielsweise die substantielle Beschleunigung:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}{\vec {v}}({\vec {x}},t)=&{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\\=&{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }\cdot {\vec {v}}:={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}\,.\end{aligned}}

Erstere Schreibweise mit dem Nabla-Operator wird in der Strömungsmechanik bevorzugt.

Der Deformationsgradient

Der Deformationsgradient ist die grundlegende Größe zur Beschreibung von Verformungen, die sich aus lokalen Längenänderungen von materiellen Linienelementen und Winkeländerungen zwischen ihnen ergeben, die man sich als in das Material eingeritzt vorstellen kann. Der Deformationsgradient transformiert die Tangentialvektoren an materielle Linien in der Ausgangskonfiguration in die Momentankonfiguration, siehe Bild. Berechnet wird der Deformationsgradient aus der Ableitung der Bewegungsfunktion nach den materiellen Koordinaten

\mathbf {F} ({\vec {X}},t):=\operatorname {GRAD} ({\vec {\chi }}({\vec {X}},t))={\frac {\mathrm {d} \chi _{i}({\vec {X}},t)}{\mathrm {d} X_{j}}}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}

und kann auch mit der Richtungsableitung

\mathbf {F} ({\vec {X}},t)\cdot \mathrm {d} {\vec {X}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\vec {\chi }}{({\vec {X}}+s\;\mathrm {d} {\vec {X}},t)}\right|_{s=0}=\mathrm {d} {\vec {x}}

dargestellt werden, was seine Transformationseigenschaften der Linienelemente $\mathrm {d} {\vec {X}}$ verdeutlicht.

Der Deformationsgradient transformiert auch das Oberflächenelement ${\vec {N}}\mathrm {d} A$ , der mit dem Flächenstück $\mathrm {d} A$ multiplizierten Normalen ${\vec {N}}$ des Flächenstücks, und das Volumenelement $\mathrm {d} V$ von der Ausgangskonfiguration in die Momentankonfiguration:

{\begin{array}{lcl}{\vec {n}}\mathrm {d} a&=&\det(\mathbf {F} ){\mathbf {F} }^{\top -1}\cdot {\vec {N}}\mathrm {d} A\\\mathrm {d} v&=&\det(\mathbf {F} )\mathrm {d} V\end{array}}\,.

Der Operator $\det(\;)$ gibt die Determinante und $(\;)^{\top -1}$ die transponiert Inverse. Mit diesen Elementen können Integrale in der Ausgangs- und der Momentankonfiguration (gleichbedeutend: in der materiellen und räumlichen Darstellung) ineinander umgerechnet werden.

Verzerrungstensoren

Thumb — Veranschaulichung der Polarzerlegung

Mithilfe des Deformationsgradienten werden die Verzerrungsmaße definiert. Die Polarzerlegung des Deformationsgradienten $\mathbf {F} =\mathbf {R\cdot U} =\mathbf {V\cdot R}$ spaltet die Verformung lokal in eine reine Drehung, vermittelt durch den orthogonalen Rotationstensor $\mathbf {R}$ , und eine reine Streckung, vermittelt durch die symmetrischen positiv definiten rechten bzw. linken Strecktensor $\mathbf {U}$ bzw. $\mathbf {V}$ , siehe Bild. Der räumliche Tensor $\mathbf {V}$ wird hier groß geschrieben, um eine Verwechselung mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ zu vermeiden, die gelegentlich auch mit fetten Buchstaben geschrieben wird.

Die Strecktensoren dienen der Definition einer Vielzahl von Verzerrungstensoren, z. B. der Biot-Dehnungen $\mathbf {E} _{N}=\mathbf {U} -\mathbf {1} \,,$ der Hencky Dehnungen $\mathbf {E} _{H}=\ln(\mathbf {U} )\,,$ (berechnet mittels Hauptachsentransformation von $\mathbf {U}$ , Bildung der Logarithmen der Diagonalelemente und Rücktransformation), der Green-Lagrange’schen Dehnungen

\mathbf {E} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {U\cdot U} -\mathbf {1} )={\tfrac {1}{2}}({\mathbf {F} }^{\top }\cdot \mathbf {F} -\mathbf {1} )

und Euler-Almansi-Dehnungen

\mathbf {e} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {1} -\mathbf {V} ^{-1}\cdot \mathbf {V} ^{-1})={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {1} -{\mathbf {F} }^{\top -1}\cdot \mathbf {F} ^{-1})\,.

Wie oben steht $\mathbf {1}$ für den Einheitstensor. Die letzten beiden Dehnungstensoren sind aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente $\mathrm {d} {\vec {X}}$ und $\mathrm {d} {\vec {Y}}$ im Punkt ${\vec {X}}$ motiviert:

{\begin{array}{rclcl}\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}}-\mathrm {d} {\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {Y}}&=&(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}})\cdot (\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {Y}})-\mathrm {d} {\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {Y}}&=&2\mathrm {d} {\vec {X}}\cdot \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\vec {Y}}\\&=&\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}}-(\mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}})\cdot (\mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}})&=&2\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathbf {e} \cdot \mathrm {d} {\vec {y}}\end{array}}

Außerdem gibt es #Spannungstensoren, die an ihnen Verzerrungsarbeit leisten, was für die Hencky Dehnungen nicht gegeben ist.

Verzerrungsgeschwindigkeiten

Aus der materiellen Zeitableitung

{\begin{array}{lclcl}{\dfrac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}(\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}}-\mathrm {d} {\vec {X}}\cdot \mathrm {d} {\vec {Y}})&=&{\dfrac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}[(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}})\cdot (\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {Y}})]\\&=&({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathrm {d} {\vec {X}})\cdot (\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {Y}})+(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}})\cdot ({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathrm {d} {\vec {Y}})&=:&2\mathrm {d} {\vec {X}}\cdot {\dot {\mathbf {E} }}\cdot \mathrm {d} {\vec {Y}}\\&=&({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}})\cdot \mathrm {d} {\vec {y}}+\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot ({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {y}})&=:&2\mathrm {d} {\vec {x}}\cdot \mathbf {d} \cdot \mathrm {d} {\vec {y}}\end{array}}

leiten sich der materielle Verzerrungsgeschwindigkeitstensor

{\dot {\mathbf {E} }}={\frac {1}{2}}({\dot {\mathbf {F} }}^{\top }\cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} ^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {F} }})

und der räumliche

\mathbf {d} ={\tfrac {1}{2}}({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}+\mathbf {F} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}^{\top })

ab, die genau dann verschwinden, wenn Starrkörperbewegungen vorliegen.

Der räumliche Verzerrungsgeschwindigkeitstensor $\mathbf {d}$ ist der symmetrische Anteil des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten $\mathbf {l}$ :

\mathbf {l

Geometrische Linearisierung

Thumb — Vergleich verschiedener Dehnungsmaße bei der homogenen Streckung eines geraden Stabes der Länge L auf die Länge u+L

Die Gleichungen der Kontinuumsmechanik für Festkörper erfahren eine erhebliche Vereinfachung, wenn kleine Verschiebungen angenommen werden können. Verschiebungen sind die Differenz der Ortsvektoren ${\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)$ eines Partikels ${\vec {X}}$ in der Momentankonfiguration und seiner Ausgangslage ${\vec {X}}$ :

{\vec {u}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)-{\vec {X}}=:\left({\begin{array}{c}u({\vec {X}},t)\\v({\vec {X}},t)\\w({\vec {X}},t)\end{array}}\right)

und der Verschiebungsgradient ist der Tensor

\mathbf {H} =\operatorname {GRAD} \;{\vec {u}}=\mathbf {F} -\mathbf {1} =\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial u}{\partial X}}&{\frac {\partial u}{\partial Y}}&{\frac {\partial u}{\partial Z}}\\[1ex]{\frac {\partial v}{\partial X}}&{\frac {\partial v}{\partial Y}}&{\frac {\partial v}{\partial Z}}\\[1ex]{\frac {\partial w}{\partial X}}&{\frac {\partial w}{\partial Y}}&{\frac {\partial w}{\partial Z}}\end{array}}\right)\,.

Wenn $L_{0}$ eine charakteristische Abmessung des Körpers ist, dann wird bei kleinen Verschiebungen sowohl $\left|{\vec {u}}\right|\ll L_{0}$ als auch $\|\mathbf {H} \|\ll 1$ gefordert, so dass alle Terme, die höhere Potenzen von ${\vec {u}}$ oder $\mathbf {H}$ beinhalten, vernachlässigt werden können. Bei kleinen Verschiebungen ist eine Unterscheidung der Lagrange’schen und Euler’schen Betrachtungsweise nicht mehr nötig, so dass die räumlichen Koordinaten ${\vec {x}}$ und die materiellen ${\vec {X}}$ nicht mehr auseinandergehalten werden müssen. Dies führt zu

{\begin{aligned}\mathbf {F} =&\mathbf {1} +\mathbf {H} ,\quad \mathbf {F} ^{-1}\approx \mathbf {1} -\mathbf {H} ,\quad \det(\mathbf {F} )\approx 1+\operatorname {Sp} (\mathbf {H} ),\\\mathbf {E} \approx &\mathbf {e} \approx \mathbf {E} _{N}\approx \mathbf {E} _{H}\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}:={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {H} +\mathbf {H} ^{\top })\,.\end{aligned}}

Das bedeutet, dass alle aufgeführten Verzerrungsmaße bei kleinen Verschiebungen in den linearisierten Verzerrungstensor ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ übergehen. Der linearisierte Verzerrungstensor

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {H} +\mathbf {H} ^{\top })=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\[1ex]{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)&{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\right)\\[1ex]{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial w}{\partial z}}\end{array}}\right)

wird auch Ingenieursdehnung genannt, denn bei vielen Anwendungen im technischen Bereich liegen kleine Dehnungen vor oder sie müssen aus sicherheitstechnischen Gründen klein gehalten werden. Diese geometrisch lineare Betrachtung ist für Werte $\|\mathbf {H} \|$ bis 3–8 % zulässig, siehe Bild. Liegen keine kleinen Verschiebungen vor, wird von finiten oder großen Verschiebungen gesprochen.

Manchmal wird für die geometrische Linearisierung nur $\|\mathbf {H} \|\ll 1$ gefordert und $\left|{\vec {u}}\right|\ll L_{0}$ fallen gelassen, so dass große Translationen bei nur kleinen Drehungen und Dehnungen erlaubt sind. Dann muss nach wie vor zwischen der Lagrange’schen und Euler’schen Betrachtungsweise unterschieden werden.