Final-σ-Algebra

Die Final-σ-Algebra, auch Bild-σ-Algebra^[1] genannt, ist ein spezielles Mengensystem, genauer eine σ-Algebra, in der Maßtheorie. Die zu einer vorgegebenen Familie von Funktionen gebildete Final-σ-Algebra ist das größte Mengensystem auf der gemeinsamen Zielmenge dieser Funktionen, bezüglich der diese sämtlich messbar sind. Somit bildet das Konzept der Final-σ-Algebra das Pendant zum Konzept der Initial-σ-Algebra, welche die kleinste σ-Algebra auf der Definitionsmenge darstellt, bezüglich der alle Funktionen der vorgegebenen Funktionenfamilie messbar sind. Ein analoges Konzept findet sich in der Topologie; hier sind die Initialtopologie bzw. die Finaltopologie die gröbste bzw. feinste Topologie auf der Definitionsmenge bzw. Zielmenge, bezüglich der alle Funktionen der vorgegebenen Funktionenfamilie stetig ist.

Definition

Für eine beliebige Indexmenge seien Messräume ${\displaystyle (X_{i},{\mathcal {A}}_{i})}$ gegeben sowie Abbildungen ${\displaystyle f_{i}\colon X_{i}\to X}$ für eine beliebige Menge ${\displaystyle X}$. Dann heißt die σ-Algebra

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{i},\,i\in I):=\bigcap _{i\in I}\{A\subset X\,|\,f_{i}^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{i}\}}$

die Final-σ-Algebra der Abbildungen ${\displaystyle f_{i}}$ auf ${\displaystyle X}$.

Eigenschaften

• Ist ein weiterer Messraum ${\displaystyle (Y,{\mathcal {A}}^{*})}$ gegeben und eine Funktion ${\displaystyle g\colon X\to Y}$, so ist ${\displaystyle g}$ genau dann ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{i},\,i\in I)}$ - ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$-messbar, wenn die Kompositionen ${\displaystyle g\circ f_{i}}$ alle ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ - ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$-messbar sind.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.