Spektrumsfaltung

Der Begriff Folded Spectrum Method (FSM) bzw. Spektrumsfaltung bezeichnet ein mathematisches iteratives Optimierungsverfahren für Eigenwertprobleme. Mit ihm ist es möglich, den Eigenvektor ${\displaystyle \Psi }$ eines großen Eigenwertproblems zur Matrix ${\displaystyle H}$ zu bestimmen, der am nächsten an einem beliebigen Ziel-Eigenwert ${\displaystyle \varepsilon }$ (aus der Mitte des Spektrums) liegt, ohne die gesamte Matrix lösen zu müssen.

Formel

${\displaystyle \Psi _{i+1}=\Psi _{i}-\alpha (H-\varepsilon \mathbf {1} )^{2}\Psi _{i}}$ , mit ${\displaystyle 0<\alpha ^{\,}<1}$ und ${\displaystyle \mathbf {1} }$ der Einheitsmatrix.

Bewertung

Im Gegensatz zum Bergsteigeralgorithmus (englisch hill climbing, auch downhill) oder dem CG-Verfahren wird der Gradient ${\displaystyle G}$ hier (FSM) durch zweimaliges Anwenden der Matrix ${\displaystyle H}$ ermittelt: ${\displaystyle G\sim H\rightarrow G\sim H^{2}}$

Dieses Verfahren eignet sich besonders für große dünnbesetzte Matrizen.

Literatur

• J. K. L. MacDonald: On the Modified Ritz Variation Method. In: Physical Review. 46, 1934, S. 828.
• L. W. Wang, A. Zunger: Electronic Structure Pseudopotential Calculations of Large (.apprx. 1000 Atoms) Si Quantum Dots. In: Journal of Chemical Physics. 98, 1994, S. 2158. doi:10.1021/j100059a032
• L. W. Wang, A. Zunger: Solving Schrodinger's equation around a desired energy: Application to silicon quantum dots. In: Journal of Chemical Physics. 100, 1994, S. 2394.