Frullanische Integrale

Als frullanische Integrale werden uneigentliche Integrale vom Typ

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x

bezeichnet. Sie wurden erstmals 1821 von Giuliano Frullani in einem Brief erwähnt und 1828 veröffentlicht. Es gilt der folgende Satz:

Sei $f(x)$ eine für $x\geq 0$ stetige Funktion mit $A:=f(0)$ und dem endlichen Grenzwert $B:=\lim _{x\to \infty }f(x)$ , dann gilt

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x=(A-B)\ln {\frac {b}{a}}

.

Wichtige Beispiele ergeben sich für $f(x)=e^{-x}\$ bzw. $f(x)=\arctan x\$ mit $a,b>0$ :

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\,{\rm {d}}x=\ln {\frac {b}{a}}

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(ax)-\arctan(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}\ln {\frac {a}{b}}

Literatur