Frobenius-Methode

Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917), ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${\displaystyle u''+p(z)u'+q(z)u=0}$

zu finden, wobei ${\displaystyle (z-z_{0})p(z)}$ und ${\displaystyle (z-z_{0})^{2}q(z)}$ als analytisch in einer Umgebung von ${\displaystyle z=z_{0}}$ vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

${\displaystyle u(z)=(z-z_{0})^{\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(z-z_{0})^{n}}$

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten ${\displaystyle \alpha ,u_{n}}$ durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen^[1] und danach von Frobenius verallgemeinert^[2].

Satz von Fuchs

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir ${\displaystyle z_{0}=0}$ setzen. Gegeben sei die Differentialgleichung

${\displaystyle u''+p(z)u'+q(z)u=0}$

wobei ${\displaystyle p(z)}$ bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und ${\displaystyle q(z)}$ bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

${\displaystyle p(z)={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}z^{n},\qquad q(z)={\frac {1}{z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }q_{n}z^{n}}$

geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

${\displaystyle \alpha _{1,2}={\frac {1}{2}}\left(1-p_{0}\pm {\sqrt {(p_{0}-1)^{2}-4q_{0}}}\right)}$

sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

${\displaystyle \alpha ^{2}+(p_{0}-1)\alpha +q_{0}=0,}$

welche sich durch Koeffizientenvergleich für ${\displaystyle z^{\alpha -2}}$ in obiger Differentialgleichung ergibt,

und wir können sie gemäß ${\displaystyle \mathrm {Re} (\alpha _{1})\geq \mathrm {Re} (\alpha _{2})}$ ordnen.

Dann gilt folgende Fallunterscheidung:

• Ist ${\displaystyle \alpha _{1}-\alpha _{2}}$ keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

${\displaystyle u_{j}(z)=z^{\alpha _{j}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{j,n}z^{n},\qquad u_{j,0}=1,\quad j=1,2.}$

• Ist ${\displaystyle \alpha _{1}-\alpha _{2}}$ eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

${\displaystyle u_{1}(z)=z^{\alpha _{1}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{1,n}z^{n},\qquad u_{2}(z)=z^{\alpha _{2}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{2,n}z^{n}+c\log(z)u_{1}(z),\qquad u_{j,0}=1.}$

Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für ${\displaystyle p(z)}$ und ${\displaystyle q(z)}$.

Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat ${\displaystyle p(z)}$ bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und ${\displaystyle q(z)}$ bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive ${\displaystyle \infty }$) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.

Verallgemeinerungen

Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

Anwendungen

Mit der Methode von Frobenius können folgende Differentialgleichungen gelöst werden:

• Bessel’sche Differentialgleichung
• Legendre’sche Differentialgleichung
• Laguerre’sche Differentialgleichung
• hypergeometrische Differentialgleichung

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2.