Generatormatrix

In der Kodierungstheorie ist eine Generatormatrix, auch Erzeugermatrix, eine matrixförmige Basis für einen linearen Code, der alle möglichen Codewörter erzeugt. Ist G eine Generatormatrix für einen linearen [n, k]-Code C dann ist jedes Codewort c von C von der Form

${\displaystyle c=wG}$

für einen eindeutigen Zeilenvektor w mit k Einträgen. Mit anderen Worten: Die Abbildung ${\displaystyle K^{1\times k}\rightarrow C,w\mapsto wG}$ ist eine Bijektion. Eine Generatormatrix für einen ${\displaystyle [n,k]}$-Code ${\displaystyle C}$ hat das Format ${\displaystyle k\times n}$. Dabei ist n die Länge der Codewörter und k die Anzahl der Informationsbits (die Dimension von C). Die Anzahl der redundanten Bits ist r = n - k.

Die systematische Form für eine Generatormatrix ist

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$

wobei ${\displaystyle I_{k}}$ eine k×k Einheitsmatrix und P von der Dimension k×r ist.

Eine Generatormatrix kann verwendet werden, um eine Kontrollmatrix für einen Code zu erzeugen (und umgekehrt).

Äquivalente Codes

Codes C₁ und C₂ sind äquivalent (geschrieben C₁ ~ C₂), wenn der eine Code aus dem anderen durch die folgenden beiden Transformationen erzeugt werden kann

1. Komponenten vertauschen
2. Komponenten skalieren.

Äquivalente Codes besitzen den gleichen Hamming-Abstand.

Die Generatormatrizen von äquivalenten Codes kann man über die folgenden Transformationen erzeugen:

1. Zeilen vertauschen
2. Zeilen skalieren
3. Zeilen addieren
4. Spalten vertauschen
5. Spalten skalieren.

Siehe auch

• Hamming-Code

Weblinks

• MathWorld entry (englisch)