strukturerhaltende Abbildung zwischen Gruppen Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Ein Gruppenhomomorphismus ist in der Gruppentheorie eine Abbildung zwischen zwei Gruppen, die mit diesen verträglich ist, und damit ein spezieller Homomorphismus.
Gegeben seien zwei Gruppen und Eine Funktion heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente gilt:
Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft und das Ergebnis abbildet oder ob man erst die zwei Elemente abbildet und dann die Bilder verknüpft.
Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das neutrale Element von auf das neutrale Element von abbildet:
Weiterhin folgt, dass er Inverse erhält:
Als Bild (engl. image) des Gruppenhomomorphismus bezeichnet man die Bildmenge von unter :
Der Kern (engl. kernel) von ist das Urbild des neutralen Elements :
Genau dann, wenn gilt (der Kern von also nur das neutrale Element von enthält, das immer im Kern liegt), ist injektiv. Ein injektiver Gruppenhomomorphismus wird auch Gruppen-Monomorphismus genannt.
Der Kern von ist stets ein Normalteiler von und das Bild von ist eine Untergruppe von . Nach dem Homomorphiesatz ist die Faktorgruppe isomorph zu .
Triviale Beispiele
Nichttriviale Beispiele
Sind und zwei Gruppenhomomorphismen, dann ist ihre Komposition ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.
Die Klasse aller Gruppen bildet mit den Gruppenhomomorphismen eine Kategorie.
Ein Homomorphismus heißt
Ist ein Gruppenisomorphismus, dann ist auch seine Umkehrfunktion ein Gruppenisomorphismus, die Gruppen und heißen dann zueinander isomorph: Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.
Ist ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Gruppenendomorphismus. Ist er darüber hinaus bijektiv, dann wird er Gruppenautomorphismus genannt. Die Menge aller Gruppenendomorphismen von bildet mit der Komposition einen Monoid. Die Menge aller Gruppenautomorphismen einer Gruppe bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe von .
Die Automorphismengruppe von enthält nur zwei Elemente: Die Identität (1) und die Multiplikation mit −1; sie ist also isomorph zur zyklischen Gruppe .
In der Gruppe von ist jede lineare Abbildung mit ein Automorphismus.
Sind und Gruppen, wobei abelsch ist, dann bildet die Menge aller Gruppenhomomorphismen von nach selbst eine (wiederum abelsche) Gruppe, nämlich mit der „punktweisen Addition“:
Die Kommutativität von benötigt man, damit wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe bildet mit der Addition eine Gruppe, die als bezeichnet wird.
Die Addition von Homomorphismen ist in folgendem Sinne verträglich mit der Komposition: Sind , dann gilt
Dies zeigt, dass die Endomorphismengruppe einer abelschen Gruppe sogar einen Ring bildet, den Endomorphismenring von .
Zum Beispiel ist der Endomorphismenring der Kleinschen Vierergruppe isomorph zum Ring der 2×2-Matrizen über dem Restklassenkörper .
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