Halbwinkelsatz

Die Halbwinkelsätze sind Formeln der Trigonometrie, die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$) von allgemeinen Dreiecken entwickelt wurden. Entsprechende Sätze gelten für allgemeine Dreiecke auf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie).

Halbwinkelsätze in der Ebene

allgemeines Dreieck

• ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{bc}}}}$
• ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s(s-a)}{bc}}}}$
• ${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}}}$

wobei ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

Die zur dritten Formel äquivalente Aussage

• ${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\rho }}={\sqrt {\frac {s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}}}$

ist auch als Kotangenssatz bekannt. ${\displaystyle \rho }$ bezeichnet hier den Inkreisradius.

Entsprechende Formeln gelten für die anderen Winkel.

Halbwinkelsätze auf der Kugeloberfläche

• ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin b\,\sin c}}}}$
• ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\,\sin(s-a)}{\sin b\,\sin c}}}}$
• ${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin s\,\sin(s-a)}}}}$

wobei ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

Quellen

• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 622.
• F. Specht: Herleitung der trigonometrischen Formel für die Tangente des halben Winkels aus den Seiten des Dreiecks. In: Archiv der Mathematik und Physik. 2. Reihe. Mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten. Band XIII, 1894, S. 223–224 (Eintrag zbMATH Open).