Hyperelliptische Involution

In der Mathematik ist die hyperelliptische Involution eine in der Funktionentheorie vorkommende Abbildung.

Definition

Sei ${\displaystyle S}$ eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g}$. Eine hyperelliptische Involution ist eine holomorphe Abbildung

${\displaystyle f\colon S\to S}$

mit ${\displaystyle 2g+2}$ Fixpunkten, so dass ${\displaystyle f\circ f=id_{S}}$ gilt.

Existiert eine hyperelliptische Involution auf ${\displaystyle S}$, so heißt ${\displaystyle S}$ eine hyperelliptische Fläche. Die Fixpunkte von ${\displaystyle f}$ heißen dann Weierstraß-Punkte von ${\displaystyle S}$.

Eigenschaften hyperelliptischer Involutionen

Wenn ${\displaystyle S}$ eine hyperelliptische Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ ist, dann gibt es genau eine hyperelliptische Involution auf ${\displaystyle S}$.

Die hyperelliptische Involution kommutiert mit allen anderen konformen Homöomorphismen von ${\displaystyle S}$ auf sich. Sie liegt also im Zentrum der Automorphismengruppe der Riemannschen Fläche, ihre Isotopieklasse liegt im Zentrum der Abbildungsklassengruppe von ${\displaystyle S}$.

Eigenschaften hyperelliptischer Flächen

→ Hauptartikel: Hyperelliptische Kurve

Eine hyperelliptische Fläche wird in der affinen Karte ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\subset \mathbb {C} P^{2}}$ durch eine Gleichung

${\displaystyle w^{2}=f(z)}$

mit einem Polynom ${\displaystyle f}$ ohne mehrfache Nullstellen beschrieben. Dazu kommen ein oder zwei Punkte im Unendlichen, je nachdem ob der ${\displaystyle grad(f)=2g+1}$ oder ${\displaystyle deg(f)=2g+2}$ ist. Die hyperelliptische Involution wird in der affinen Karte durch ${\displaystyle f(z,w)=(z,-w)}$. Die Weierstraß-Punkte sind von der Form ${\displaystyle (z,0)}$, wobei ${\displaystyle z}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle f}$ ist, sowie im Fall ${\displaystyle deg(f)=2g+1}$ noch der Punkt im Unendlichen.

Durch ${\displaystyle P(z,w)=z}$ und Abbildung der Punkte im Unendlichen auf ${\displaystyle \infty }$ wird eine verzweigte 2-fache Überlagerung

${\displaystyle P\colon S\to \mathbb {C} P^{1}}$

definiert.

Literatur

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra: Riemann Surfaces. Springer, New York 1980, ISBN 0-387-90465-4
• Mikhail G. Katz: Systolic Geometry and Topology. Amer. Math. Soc. 2007, ISBN 9780821841778