Jordan-Algebra

In der Mathematik heißt eine kommutative Algebra ${\displaystyle A}$ eine (kommutative) Jordan-Algebra, wenn für alle ${\displaystyle x,y}$ aus ${\displaystyle A}$ die sog. Jordan-Identität ${\displaystyle x(x^{2}y)=x^{2}(xy)}$ erfüllt ist.

Eine alternative Definition ist ${\displaystyle x^{-1}(xy)=x(x^{-1}y)}$ (für ${\displaystyle x,y}$ aus ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle x}$ invertierbar).

D. h., ${\displaystyle A}$ ist nicht unbedingt assoziativ, es gilt aber eine schwache Form des Assoziativgesetzes.

Benannt ist sie nach dem deutschen Physiker Pascual Jordan, der sie zur Axiomatisierung der Quantenphysik einsetzen wollte.

Eine beliebige Algebra heißt Jordan-Algebra (falls obiger Fall nicht eintritt, nichtkommutative Jordan-Algebra), wenn sie neben der Jordan-Identität noch das Flexibilitätsgesetz erfüllt. Das ist für kommutative Verknüpfungen schon der Fall.

Spezielle und exzeptionelle Jordan-Algebren

Aus einer assoziativen Algebra ${\displaystyle A}$ von Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} A\neq 2}$ lässt sich eine Jordan-Algebra ${\displaystyle A^{+}}$ konstruieren, indem man bei unveränderter Addition eine neue Multiplikation ${\displaystyle {\cdot \!}_{J}}$ definiert:

${\displaystyle x\;{\cdot \!}_{J}\;y={xy+yx \over 2}.}$

Jordan-Algebren, die isomorph zu so gebildeten sind, heißen spezielle Jordan-Algebren, die anderen exzeptionelle Jordan-Algebren.

Die exzeptionelle Jordan-Algebra ${\displaystyle M(3,8)}$ (auch als ${\displaystyle E_{3}}$ bezeichnet) ist durch Matrizen des Typs

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&X&Y\\{\bar {X}}&b&Z\\{\bar {Y}}&{\bar {Z}}&c\end{pmatrix}}}$

gegeben. Hierbei sind ${\displaystyle a,b,c}$ reelle Zahlen und ${\displaystyle X,Y,Z}$ Oktonionen, die Multiplikation ist wie oben gegeben, aber es handelt sich nicht um eine spezielle Jordan-Algebra, da die Multiplikation der Oktonionen nicht assoziativ ist.

Über den komplexen Zahlen ist ${\displaystyle M(3,8)}$ die einzige exzeptionelle Jordan-Algebra, während es über den reellen Zahlen drei Isomorphieklassen exzeptioneller Jordan-Algebren gibt.

Formal reelle Jordan-Algebren

Eine Jordan-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt formal reell, wenn sich ${\displaystyle 0\in A}$ nicht als nichttriviale Summe von Quadraten darstellen lässt. Formal reelle Jordan-Algebren wurden 1934 von Jordan, von Neumann und Wigner klassifiziert.

Literatur

• Hel Braun, Max Koecher: Jordan-Algebren, Springer, Berlin 1966, ISBN 3-540-03522-2
• Tonny A. Springer: Jordan Algebras and Algebraic Groups, Springer-Verlag, Heidelberg 1998
• Pascual Jordan, John von Neumann, Eugene Wigner (1934), „On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism“, Annals of Mathematics (Princeton) 35 (1): 29–64

Weblinks

• Walter Feit: On the work of Efim Zelmanov (mit einem Abriss der Geschichte der Theorie der Jordan-Algebren)