Koeffizienten für Differenzenquotienten

Koeffizienten für Differenzenquotienten (englisch Finite difference coefficients) werden in einem Teilgebiet der Mathematik, der Differenzenrechnung, speziell der Finite-Differenzen-Methode, benötigt. Die Ableitung einer 1D-Funktion an einer vorgegebenen Stützstelle (Gitterpunkt) wird durch einen Differenzenquotienten angenähert. Die Koeffizienten treten dabei im Zähler des Differenzenquotienten auf. Es werden Funktionswerte an benachbarten Stützstellen und der Funktionswert an der vorgegebenen Stützstelle einbezogen. Je mehr „Nachbarn“ man berücksichtigt, umso genauer wird im Allgemeinen die Näherung.

Fünf-Punkte-Stützstellenschema (englisch Five-Points stencil) für zentrale Differenzen in 1D mit äquidistantem Stützstellen

In diesem Artikel wird der Fall von äquidistanten Stützstellen behandelt. Berücksichtigt man links und rechts von der vorgegebenen Stützstelle gleich viele benachbarte Stützstellen, spricht man von zentralen Differenzen. In der Grafik ist die rote die vorgegebene Stützstelle, die Nachbarn sind die blauen Punkte. Berücksichtigt man nur benachbarte Stützstellen, deren Abszissenwerte größer sind als die der vorgegebenen Stützstelle, spricht man von Vorwärts-Differenzen. Analog spricht man von Rückwärts-Differenzen, wenn man nur benachbarte Stützstellen einbezieht, deren Abszissenwerte kleiner sind als die der vorgegebenen Stützstelle. Weitere Stützstellenschemata sind möglich, etwa drei linke und ein rechter Nachbar.

Zentrale Differenzen

Die nachfolgende Tabelle enthält die Koeffizienten der zentralen Differenzen für mehrere Genauigkeitsordnungen bei äquidistanten Stützpunkten:^[1]

Ableitung	Genauigkeit	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
	4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
	4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
	4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
	4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
	4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Beispielsweise erhält man für die dritte Ableitung mit einer Genauigkeit zweiter Ordnung

${\displaystyle f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{1})+{\frac {1}{2}}f(x_{2})}{h_{x}^{3}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{2}\right),}$

wobei ${\displaystyle h_{x}}$ der konstante Abstand zweier benachbarter Gitterpunkte ist und ${\displaystyle x_{n}=x_{0}+nh_{x}}$. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(h_{x}^{2})}$ symbolisiert, dass der Diskretisierungsfehler für kleine ${\displaystyle h_{x}}$ quadratisch mit der Schrittweite fällt.

Für die ${\displaystyle m}$-te Ableitung mit der Genauigkeit ${\displaystyle n}$ gibt es ${\displaystyle 2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n}$ zentrale Koeffizienten

${\displaystyle a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a_{p}}$.

Diese erhält man, indem man das folgende lineare Gleichungssystem löst:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},}$

wobei der einzige Nicht-Null-Wert auf der rechten Seite sich in der ${\displaystyle (m+1)}$-ten Zeile befindet.

Mit dem Open-Source-Programm findiff können Differenzen-Koeffizienten beliebiger Ableitungen und Genauigkeitsordnungen in einer Dimension berechnet werden.^[2]

Vorwärts-Differenzen

Fünf-Punkte-Stützstellenschema für Vorwärts-Differenzen

Die nachfolgende Tabelle enthält die Koeffizienten der Vorwärts-Differenzen für mehrere Genauigkeitsordnungen bei äquidistanten Stützpunkten:^[1]

Ableitung	Genauigkeit	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Beispielsweise erhält man für die erste Ableitung mit einer Genauigkeit dritter Ordnung und die zweite Ableitung mit einer Genauigkeit zweiter Ordnung

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{1})-{\frac {3}{2}}f(x_{2})+{\frac {1}{3}}f(x_{3})}{h_{x}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{1})+4f(x_{2})-f(x_{3})}{h_{x}^{2}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{2}\right).}$

Rückwärts-Differenzen

Fünf-Punkte-Stützstellenschema für Rückwärts-Differenzen

Die entsprechenden Rückwärtsnäherungen sind gegeben durch

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-3f(x_{-1})+{\frac {11}{6}}f(x_{0})}{h_{x}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-f(x_{-3})+4f(x_{-2})-5f(x_{-1})+2f(x_{0})}{h_{x}^{2}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{2}\right).}$

Um die Koeffizienten der Rückwärts-Näherungen aus denen der Vorwärtsnäherungen zu erhalten, sind für alle ungeraden Ableitungen, die in der Tabelle im vorigen Abschnitt aufgeführt sind, die entgegengesetzten Vorzeichen zu setzen, während für gerade Ableitungen die Vorzeichen gleich bleiben. Die folgende Tabelle veranschaulicht dies:^[3]

Ableitung	Genauigkeit	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
	3						−1/3	3/2	−3	11/6
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

Weitere Stützstellenschemata

Spezielles Fünf-Punkte-Stützstellenschema für gemischte Differenzen

Für ein beliebiges Stützstellenschema (englisch Stencil, Patterns of grid points^[2]) ${\displaystyle \displaystyle s}$, der Anzahl der Gitterpunkte ${\displaystyle \displaystyle N}$ und mit Ordnung der Ableitung ${\displaystyle \displaystyle d<N}$ können die Differenzenkoeffizienten durch Lösen des folgenden linearen Gleichungssystems erhalten werden:^[3]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},}$

wobei ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ das Kronecker-Delta symbolisiert, das gleich Eins ist, wenn ${\displaystyle i=j}$ ist und Null sonst.

Hier ein Beispiel für ${\displaystyle s=[-3,-2,-1,0,1]}$, ${\displaystyle N=5}$ und Ordnung der Ableitung ${\displaystyle d=4}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\quad 1&\quad 1&\quad 1&\quad 1&\quad 1\\-3&-2&-1&\quad 0&\quad 1\\\quad 9&\quad 4&\quad 1&\quad 0&\quad 1\\-27&-8&-1&\quad 0&\quad 1\\\quad 81&16&\quad 1&\quad 0&\quad 1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\quad 1\\-4\\\quad 6\\-4\\\quad 1\end{pmatrix}}.}$

Die Ordnung der Genauigkeit der Näherung hat die übliche Form ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(h_{x}^{(N-d)}\right)}$.

Siehe auch

• Differenzenquotient
• Differenzenrechnung
• Finite-Differenzen-Methode
• Numerische Differentiation