Länge (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition

Es sei ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle A}$. Die Länge von ${\displaystyle M}$ ist das Supremum der Längen ${\displaystyle n}$ von Ketten von Untermoduln der Form^[1]

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \dotsb \subsetneq N_{n}=M.}$

Die Länge wird oft mit ${\displaystyle \ell _{A}(M)}$ oder ${\displaystyle \ell (M)}$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Nur der Nullmodul hat Länge 0.
• Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
• Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.^[2]
• Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

exakt, so ist ${\displaystyle \ell (M)=\ell (M')+\ell (M'')}$; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

• Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Beispiele

• Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
• Der ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist

${\displaystyle 0\subset 2^{n}\mathbb {Z} \subset 2^{n-1}\mathbb {Z} \subset \dotsb \subset \mathbb {Z} }$

eine Kette von Untermoduln der Länge ${\displaystyle n+1}$.

Literatur

• Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0.