Lebesgue-Stieltjes-Maß

Das Lebesgue-Stieltjes-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Es enthält als einen Spezialfall das Lebesgue-Maß und wird zur Konstruktion des Lebesgue-Stieltjes-Integrals genutzt.

Definition

Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsstetige Funktion ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ und der Messraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ die Borelsche σ-Algebra bezeichnet. Dann heißt das eindeutig bestimmte Maß ${\displaystyle \lambda _{F}}$ auf diesem Messraum mit

${\displaystyle \lambda _{F}((a,b]):=F(b)-F(a)\quad {\text{für}}\quad a<b}$

Lebesgue-Stieltjes-Maß.

Beispiele

• Das bekannteste Beispiel eines Lebesgue-Stieltjes-Maßes ist das Lebesgue-Maß ${\displaystyle \lambda ((a,b])=b-a}$, aus dem das Lebesgue-Integral konstruiert wird. Hier ist ${\displaystyle F(x)=x}$.
• Für ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle F(x)=0}$ für ${\displaystyle x<a}$ und ${\displaystyle F(x)=1}$ für ${\displaystyle x\geq a}$ ist das Lebesgue-Stieltjes-Maß ${\displaystyle \lambda _{F}}$ das Diracmaß ${\displaystyle \delta _{a}}$.
• Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )}$ eine nichtnegative, stetige Funktion mit Stammfunktion ${\displaystyle F}$, so ist ${\displaystyle \lambda _{F}}$ das Maß mit Dichte ${\displaystyle f}$.
• Ist zusätzlich ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$ und ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$, so ist ${\displaystyle \lambda _{F}}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß und ${\displaystyle F}$ ist die Verteilungsfunktion.
• Sind die beiden obigen Fälle erfüllt, so handelt es sich um ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte. Diese Maße spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik.

Konstruktion

Gegeben sei der Halbring ${\displaystyle {\mathcal {J}}:=\{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}}$ und eine wachsende, rechtsseitig stetige Funktion ${\displaystyle F}$. Dann ist

${\displaystyle \mu _{F}:{\mathcal {J}}\rightarrow \mathbb {R} ,\mu _{F}((a,b]):=F(b)-F(a),(a<b)}$

ein σ-endliches Prämaß, das sogenannte Lebesgue-Stieltjessches Prämaß. Dann lässt sich mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory eine eindeutige Fortsetzung dieses Prämaßes zu einem Maß konstruieren. Dazu wird ein äußeres Maß ${\displaystyle \nu _{F}}$, das sogenannte äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß definiert, und dieses auf die von ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ erzeugte σ-Algebra eingeschränkt. Diese σ-Algebra ist dann genau die Borelsche σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=\sigma ({\mathcal {J}})}$ und es ist ${\displaystyle \lambda _{F}=\nu _{F}|\sigma ({\mathcal {J}})}$.

Vervollständigung

Der oben konstruierte Maßraum ist im Allgemeinen kein vollständiger Maßraum. Da das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß aber auch ein metrisches äußeres Maß ist, enthält die σ-Algebra der messbaren Mengen bezüglich des äußeren Maßes ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\nu _{F}}}$ die Borelsche σ-Algebra. Demnach ist der Maßraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {A}}_{\nu _{F}},\nu _{F}|_{{\mathcal {A}}_{\nu _{F}}})}$ die Vervollständigung von ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\lambda _{F})}$.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.