Lineare Disjunktheit

In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ einer Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von ${\displaystyle M}$, die über ${\displaystyle K}$ linear unabhängig ist, auch über ${\displaystyle N}$ linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

${\displaystyle M\otimes _{K}N\to L}$

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper ${\displaystyle K}$, d. h.

${\displaystyle M\cap N=K.}$

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen ${\displaystyle M/K}$ und ${\displaystyle N/K}$ endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte Begriffe

• Eine Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ ist genau dann regulär, wenn ${\displaystyle L}$ linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss ${\displaystyle {\bar {K}}}$ von ${\displaystyle K}$ ist.
• Eine Erweiterung ${\displaystyle L}$ eines Körpers ${\displaystyle K}$ der Charakteristik ${\displaystyle p>0}$ ist genau dann separabel, wenn ${\displaystyle L}$ linear disjunkt zu

${\displaystyle K^{p^{-\infty }}=\{x\in {\bar {K}}\mid \exists n\colon x^{p^{n}}\in K\}}$

ist.

Literatur

• Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X: Abschnitt VIII, §3
• Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6: Abschnitt 26