Top-Fragen
Zeitleiste
Chat
Kontext

Normaler Operator

Begriff aus der Funktionalanalysis Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Remove ads

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist ein Hilbertraum und bezeichnet die Menge aller stetigen Endomorphismen von , so heißt ein Operator normal, falls er mit seinem adjungierten Operator kommutiert, also wenn

gilt.

Remove ads

Beispiele

Eigenschaften

Sei ein normaler Operator. Dann gilt:

  • für alle
  • für alle
  • Die Operatornorm von ist gleich dem Spektralradius: Dabei bezeichnet das Spektrum von .
  • Die von erzeugte C*-Algebra und die von erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
  • Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
  • Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
  • Ein beschränkter Operator in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in mit dem „Realteil“ und dem „Imaginärteil“ Dabei sind die Operatoren selbstadjungiert. ist genau dann normal, wenn .
Remove ads

Verwandte Begriffe

Zusammenfassung
Kontext

Ein Operator heißt

  • quasinormal, falls mit vertauscht, das heißt .
  • subnormal, falls es einen Hilbertraum gibt, so dass Unterraum von ist, und einen normalen Operator , so dass und .
  • hyponormal, falls für alle .
  • paranormal, falls für alle .
  • normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: .

Es gelten folgende Implikationen:

normal quasinormal subnormal hyponormal paranormal normaloid.

Remove ads

Unbeschränkte Operatoren

Ein unbeschränkter Operator mit Definitionsbereich heißt normal falls

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt .

Remove ads

Literatur

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads