Prüfergruppe

In der Mathematik, speziell in der Gruppentheorie, nennt man für eine Primzahl p jede zur multiplikativen Gruppe

${\displaystyle \mathbb {C} _{p^{\infty }}=\{\exp(2\pi \mathrm {i} n/p^{m})\mid n\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {N} \}}$

isomorphe Gruppe eine p-Prüfergruppe oder eine p-quasizyklische Gruppe.^[1][2] ${\displaystyle \mathbb {C} _{p^{\infty }}}$ besteht aus den komplexen Einheitswurzeln, deren Ordnung eine Potenz von p ist.

Es handelt sich um eine abelsche, abzählbare Gruppe.

Definitionsgemäß sind die p-Prüfergruppen untereinander isomorph, daher spricht man ohne nähere Präzisierung einfach von der p-Prüfergruppe. Man sagt, eine Gruppe G sei eine Prüfergruppe, wenn es eine Primzahl p gibt, so dass G eine p-Prüfergruppe ist. Die Prüfergruppen zu verschiedenen Primzahlen sind nicht isomorph.

Die Prüfergruppen sind zu Ehren des Mathematikers Heinz Prüfer benannt.

Äquivalente Definitionen

Es seien p eine Primzahl und G eine Gruppe. Jede der folgenden fünf Eigenschaften ist äquivalent dazu, dass G eine p-Prüfergruppe ist, und jede dieser Eigenschaften kann daher als Definition der Prüfergruppen verwendet werden.

a) G ist isomorph zur Faktorgruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$, wobei ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ die von den rationalen Zahlen ${\displaystyle n/p^{m}}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {N} }$ gebildete Untergruppe von ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ bezeichnet.

Beweis: Der Homomorphismus ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]\rightarrow \mathbb {C} _{p^{\infty }}:q\mapsto \exp(2\pi iq)}$ ist surjektiv und hat den Kern ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

b) G ist isomorph zur Faktorgruppe ${\displaystyle F/R}$, wobei F die freie abelsche Gruppe (das heißt der freie ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul) mit einer abzählbar unendlichen Basis ${\displaystyle \{\ a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots \}}$ und R die von ${\displaystyle \{pa_{0},a_{0}-pa_{1},a_{1}-pa_{2},\ldots ,a_{n}-pa_{n+1},\ldots \}}$ erzeugte Untergruppe von F ist.^[3]

c) G hat eine Präsentation

${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\dots |x_{1}^{p}=1,x_{2}^{p}=x_{1},x_{3}^{p}=x_{2},\dots \rangle .}$

Beweis: Sei L eine freie (nichtabelsche) Gruppe über einer abzählbaren Basis ${\displaystyle \{\ c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n},\ldots \}}$ und S der von ${\displaystyle \{c_{0}^{p},c_{0}c_{1}^{-p},c_{1}c_{2}^{-p},\ldots ,c_{n}c_{n+1}^{-p},\ldots \}}$ erzeugte Normalteiler. Für jede natürliche Zahl j sei ${\displaystyle x_{j}}$ das kanonische Bild von ${\displaystyle c_{j}}$ in ${\displaystyle L/S}$. Es ist klar, dass von je zwei der Elemente ${\displaystyle x_{j}}$ eines eine Potenz des anderen ist, das heißt die ${\displaystyle x_{j}}$ vertauschen miteinander. Da sie ${\displaystyle L/S}$ erzeugen, ist ${\displaystyle L/S}$ abelsch, mit anderen Worten, S enthält die Kommutatorgruppe K(L). Nach dem zweiten Isomorphiesatz ist ${\displaystyle L/S}$ daher isomorph zu ${\displaystyle (L/K(L))/(S/K(L))}$. Nun ist ${\displaystyle L/K(L)}$ eine freie, abelsche Gruppe (frei als abelsche Gruppe) mit den Bildern ${\displaystyle \{\ d_{0},d_{1},\ldots ,d_{n},\ldots \}}$ der Elemente ${\displaystyle \{\ c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n},\ldots \}}$ als Basis in ${\displaystyle L/K(L)}$ und ${\displaystyle S/K(L)}$ wird von ${\displaystyle \{d_{0}^{p},d_{0}d_{1}^{-p},d_{1}d_{2}^{-p},\ldots ,d_{n}d_{n+1}^{-p},\ldots \}}$ erzeugt. Jetzt schließt man mittels b) weiter.

d) G hat ein Erzeugendensystem ${\displaystyle \ (a_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ so dass ${\displaystyle \ a_{0}\not =1}$, ${\displaystyle \ a_{0}^{p}=1}$ und ${\displaystyle \ a_{n+1}^{p}=a_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\geq 0}$.^[4]

e) G ist die Vereinigung einer aufsteigenden Folge ${\displaystyle C_{0}\leq C_{1}\leq \ldots \leq C_{n}\leq \ldots }$, wobei C_n für jeden Index n eine zyklische Gruppe der Ordnung pⁿ ist.^[5]

Eigenschaften

• Jede echte Untergruppe einer Prüfergruppe ist zyklisch und insbesondere endlich. Die Prüfergruppe besitzt für jede Zahl n genau eine Untergruppe der Ordnung pⁿ. Die Menge der Untergruppen einer Prüfergruppe ist durch die Inklusion wohlgeordnet. Die Prüfergruppe ist also als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul nicht noethersch.

• Eine unendliche, abelsche Gruppe ist genau dann eine Prüfergruppe, wenn sie isomorph zu jeder Faktorgruppe nach einer echten Untergruppe ist.^[6]

• Die Prüfergruppen sind teilbar. Ihre Bedeutung erschließt sich aus dem folgenden Satz:

Jede teilbare, abelsche Gruppe ist isomorph zu einer (endlichen oder unendlichen) direkten Summe, in der jeder Summand eine Prüfergruppe oder isomorph zur additiven Gruppe der rationalen Zahlen ist.^[7][8]

Beispielsweise ist die additive Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ die direkte Summe ihrer p-Sylowgruppen, die nichts anderes als die p-Prüfergruppen sind.