Problem invarianter Unterräume

Das Problem invarianter Unterräume ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis. Die Fragestellung lautet, ob jeder nicht-triviale beschränkte und lineare Operator auf einem Banach-Raum einen invarianten Unterraum besitzt.

Ein erstes Gegenbeispiel wurde 1975 von dem schwedischen Mathematiker Per Enflo gefunden. Für Hilbert-Räume ist das Problem nach wie vor offen.

Problemstellung

Grundbegriffe:

Sei ${\displaystyle V}$ ein komplexer Vektorraum und ${\displaystyle \operatorname {T} :V\to V}$ ein linearer Operator. Ein Unterraum ${\displaystyle U\subseteq V}$ ist ${\displaystyle \operatorname {T} }$-invariant, falls ${\displaystyle \operatorname {T} (U)\subseteq U}$, das heißt also ${\displaystyle Tu\in U}$ für alle ${\displaystyle u\in U}$.^[1] Gilt zusätzlich ${\displaystyle U\neq V}$ und ${\displaystyle U\neq \{0\}}$, dann ist ${\displaystyle U}$ nicht-trivial.

Ein Unterraum ${\displaystyle U}$ ist invariant unter der Familie von Operatoren ${\displaystyle \{T_{i}\}_{i\in I}}$, falls ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T_{i}}$-invariant für alle ${\displaystyle i\in I}$ ist.

Ein Unterraum ist hyperinvariant für ${\displaystyle T}$, falls er invariant für alle Operatoren ${\displaystyle A}$ ist, die mit ${\displaystyle T}$ kommutieren (${\displaystyle TA=AT}$).

Mit ${\displaystyle {\mathcal {B}}(V)}$ bezeichnen wir den Raum der beschränkten und linearen Operatoren auf ${\displaystyle V}$.

Das Problem invarianter Unterräume für Banach-Räume

Sei ${\displaystyle V}$ ein komplexer Banach-Raum mit ${\displaystyle \dim(V)\geq 2}$ und ${\displaystyle \operatorname {T} \in {\mathcal {B}}(V)}$. Existiert dann ein abgeschlossener, nicht-trivialer ${\displaystyle T}$-invarianter Unterraum?^[2]

Lösungen

Die Problemstellung lieferte viele Teillösungen, die sich in zwei unterschiedliche Gruppen aufteilen lassen:^[3]

1. Banach-Räume, auf denen jeder Operator einen invarianten Teilraum besitzt.
2. Operatoren ohne invariante Teilräume auf einer großen Klasse von Funktionenräumen.

Schlüsselergebnisse

1950 bewies John von Neumann, dass jeder kompakte Operator auf einem Hilbert-Raum einen nicht-trivialen hyperinvarianten Unterraum besitzt.^[2]

1973 publizierte Viktor Lomonossow den Satz von Lomonossow, welcher sagt, dass wenn der Operator ${\displaystyle T}$ auf einem Banach-Raum mit einem kompakten Operator ${\displaystyle A\neq 0}$ kommutiert, ${\displaystyle T}$ einen nicht-trivialen invarianten Unterraum hat.^[4]

1976 wurde der erste Operator auf einem speziellen Banach-Raum ohne invarianten Unterraum von Per Enflo publiziert.^[5] Seitdem gab es weitere Beispiele auch auf klassischen Funktionenräumen. Für Hilbert-Räume ist das Problem weiterhin ungelöst.