Puppe-Folge

In der Mathematik ist die Puppe-Folge eine Konstruktion der Homotopietheorie.

Sie wurde 1958 von Dieter Puppe eingeführt^[1][2] und ist auch unter der Bezeichnung Puppe-Sequenz geläufig.^[3]

Definition

Es sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung. Es sei ${\displaystyle C(f)}$ der Abbildungskegel von ${\displaystyle f}$, dann ist

${\displaystyle Y\to C(f)}$

eine Kofaserung und

${\displaystyle C(f)/Y=SX}$

ist die Einhängung von ${\displaystyle X}$. Durch Iterieren erhält man die sogenannte Puppe-Folge

${\displaystyle X\to Y\to C(f)\to SX\to SY\to SC(f)\to S^{2}X\to S^{2}Y\to \ldots }$

Anwendung

Für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und für jeden Raum ${\displaystyle Z}$ bilden die Homotopieklassen stetiger Abbildungen eine exakte Folge

${\displaystyle \ldots \left[SC(f),Z\right]\to \left[SY,Z\right]\to \left[SX,Z\right]\to \left[C(f),Z\right]\to \left[Y,Z\right]\to \left[X,Z\right]}$