Satz von Gauß-Lucas

Der mathematische Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms ${\displaystyle P}$ und dessen Ableitung ${\displaystyle P'}$ an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung ${\displaystyle P'}$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von ${\displaystyle P}$ liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.

Nullstellen eines Polynoms (schwarz) und die Nullstellen seiner Ableitung (rot) in der komplexen Zahlenebene
${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)=&\quad z^{7}+\left(-38-12\;i\right)\;z^{6}\\&+\left(556+390\;i\right)\;z^{5}\\&+\left(-3930-5198\;i\right)\;z^{4}\\&+\left(11595+36880\;i\right)\;z^{3}\\&+\left(15008-140406\;i\right)\;z^{2}\\&+\left(-166180+234010\;i\right)\;z\\&[phone]\;i\end{aligned}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}p'(z)=&\quad 7\;z^{6}+\left(-228-72\;i\right)\;z^{5}\\&+\left(2780+1950\;i\right)\;z^{4}\\&+\left(-15720-20792\;i\right)\;z^{3}\\&+\left(34785+110640\;i\right)\;z^{2}\\&+\left(30016-280812\;i\right)\;z\\&-166180+234010\;i\end{aligned}}}$

Der Satz von Gauß-Lucas

Sei ${\displaystyle P}$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei ${\displaystyle P^{\prime }}$ die Ableitung von ${\displaystyle P}$. Dann liegen alle Nullstellen von ${\displaystyle P^{\prime }}$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von ${\displaystyle P}$.

Geschichte

Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 niedergeschrieben,^[1] jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen.^[2]

Stärkere Aussage

Die Nullstellen von ${\displaystyle P'}$ liegen sogar in der konvexen Hülle der Punkte

${\displaystyle \omega _{jk}={\frac {z_{j}+(n-1)z_{k}}{n}}}$

mit ${\displaystyle j\,,k=1,\ldots ,n}$ und ${\displaystyle j\neq k}$, wobei ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ die ${\displaystyle n}$ Nullstellen von ${\displaystyle P}$ sind.^[3]

Verschärfung von Jensen

Wenn ${\displaystyle P}$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten ist, dann liegen alle nicht-reellen Nullstellen der Ableitung ${\displaystyle P^{\prime }}$ innerhalb der Jensen-Scheiben,^[4] die durch alle Paare von komplex konjugierten Nullstellen von ${\displaystyle P}$ bestimmt sind.^[5] Diese Verschärfung des Satzes von Gauß-Lucas wurde 1913 von Johan Ludwig Jensen formuliert und 1920 von Joseph L. Walsh erstmals bewiesen.^[6][7]