Top-Fragen
Zeitleiste
Chat
Kontext
Satz von Plancherel
mathematischer Satz Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Remove ads
Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche -Norm haben.
Remove ads
Aussage
Es existiert eine Isometrie , die unitär und eindeutig bestimmt ist durch
für alle , wobei
- die Fourier-Transformation und
- den Schwartz-Raum bezeichnet.
Remove ads
Bemerkungen
- Die Gleichheit gilt nicht nur für , sondern auch für , da sowohl in als auch in dicht liegt. Da auf und die Fourier-Transformation auf definiert ist, kann man als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
- Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. „Frames“) zugrunde liegt.
Remove ads
Siehe auch
Literatur
- Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0-07-054236-8
Weblinks
- Plancherel's Theorem by Mathworld
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads