Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum ${\displaystyle L^{2}}$ der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche ${\displaystyle L^{2}}$-Norm haben.

Aussage

Es existiert eine Isometrie ${\displaystyle \Psi \colon L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$, die unitär und eindeutig bestimmt ist durch

${\displaystyle \Psi (f)={\mathcal {F}}(f)}$

für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}}$, wobei

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ die Fourier-Transformation und
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen

1. Die Gleichheit ${\displaystyle \Psi (f)={\mathcal {F}}(f)}$ gilt nicht nur für ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}}$, sondern auch für ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$, da ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ sowohl in ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ als auch in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ dicht liegt. Da ${\displaystyle \Psi }$ auf ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ und die Fourier-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ auf ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ definiert ist, kann man ${\displaystyle \Psi }$ als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. „Frames“) zugrunde liegt.

Siehe auch

• Harmonische Analyse

Literatur

• Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0-07-054236-8

Weblinks

• Plancherel's Theorem by Mathworld