Skalenparameter

Der Skalenparameter (auch Streuungsparameter oder Variabilitätsparameter) einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein Parameter, der die Variabilität (oder Streuung) der Verteilung beschreibt; je größer der Skalenparameter ist, desto breiter ist die beschriebene Verteilung.

Definition

Für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die (kumulative) Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x;s)}$ mit Skalenparameter ${\displaystyle s}$ beschrieben wird, gilt

${\displaystyle F\left({\frac {x}{c}};s\right)=F(x;cs),}$

d. h., eine Vergrößerung des Skalenparameters um den Faktor ${\displaystyle c}$ entspricht einer Skalierung der Zufallsvariable um den gleichen Faktor. Falls eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f(x;s)}$ existiert, so gilt ebenfalls

${\displaystyle {\frac {1}{c}}f\left({\frac {x}{c}};s\right)=f(x;cs).}$

Beispiele

Typische Skalenparameter sind:

• die Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ der Normalverteilung,
• der Parameter ${\displaystyle \sigma }$ der Rayleigh-Verteilung,
• der Kehrwert ${\displaystyle 1/\lambda }$ der Exponentialverteilung.

Literatur

• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
• Robert Hafner: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Springer, Wien New York 1989, ISBN 978-3-211-82162-6, doi:10.1007/978-3-7091-6944-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).