Standardabschätzung für Wegintegrale

In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt die Standardabschätzung für Wegintegrale, auch bekannt als die ML-Ungleichung, eine obere Schranke für ein Konturintegral an. Wenn ${\displaystyle f}$ eine komplexwertige, stetige Funktion auf der Kontur ${\displaystyle \Gamma }$ ist und ihr Absolutwert ${\displaystyle |f(z)|}$ für alle ${\displaystyle z}$ auf ${\displaystyle \Gamma }$ durch eine Konstante ${\displaystyle M}$ begrenzt ist, dann

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\,\ell (\Gamma ),}$

wobei ${\displaystyle \ell (\Gamma )}$ die Länge von ${\displaystyle \Gamma }$ bezeichnet. Wir können das Supremum

${\displaystyle M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|}$

als obere Schranke nehmen. Das Lemma wird oft genutzt, um zu zeigen, dass ein gewisses Integral für ${\displaystyle \vert z\vert \to \infty }$ gegen 0 geht.

Beweis

Der Beweis ist relativ einfach. Wir nutzen die Ungleichung für den Betrag eines Integrals:

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right|\leq \int _{\alpha }^{\beta }\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\,dt\leq \int _{\alpha }^{\beta }M\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\int _{\alpha }^{\beta }\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\,\ell (\Gamma )}$

Siehe auch

• Lemma von Jordan

Literatur

• E. B. Saff, A. D. Snider: Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering. 2. Auflage, Prentice Hall, 1993, ISBN 978-0133274615.
• J.M. Howie: Complex Analysis. Springer, 2003.