Stone-Raum

In der mengentheoretischen Topologie ist ein Stone-Raum (auch proendlicher Raum, proendliche Menge oder Boolescher Raum) ein kompakter und total unzusammenhängender Hausdorff-Raum.

Definition

Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle X}$ ist kompakt, Hausdorff und total unzusammenhängend;
• ${\displaystyle X}$ ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher diskreter Räume in der Kategorie der topologischen Räume;^[1]
• ${\displaystyle X}$ ist kompakt, T₀ und hat induktive Dimension 0;
• ${\displaystyle X}$ ist spektral und Hausdorff.^[2]

In diesem Fall heißt ${\displaystyle X}$ Stone-Raum^[3].

Beispiele

• Ein endlicher topologischer Raum ist genau dann ein Stone-Raum, wenn er diskret ist.
• Für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist der Ring der ${\displaystyle p}$-adischen ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ mit der ${\displaystyle p}$-adischen Topologie ein Stone-Raum.
• Die Cantor-Menge ist ein Stone-Raum.
• Jede proendliche Gruppe ist ein Stone-Raum.
• Jeder kompakte und extremal unzusammenhängende Hausdorff-Raum ist ein Stone-Raum.^[4]

Kategorielle Eigenschaften

Die Kategorie der Stone-Räume mit stetigen Abbildungen ist äquivalent zur Pro-Kategorie der Kategorie der endlichen Mengen. Ein Limes von Stone-Räumen in der Kategorie der topologischen Räume ist wieder ein Stone-Raum^[5]. Nach dem Darstellungssatz für Boolesche Algebren ist die Kategorie der Stone-Räume antiäquivalent zur Kategorie der booleschen Algebren.

Lokale Stone-Räume

Ein topologischer Raum ist lokal Stone bzw. lokal proendlich, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die mit der Teilraumtopologie ein Stone-Raum ist. Der Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ist lokal Stone, aber nicht Stone. Typische Beispiele für lokale Stone-Räume sind lokal proendliche Gruppen.

Verdichtete Mathematik

Stone-Räume sind die Grundbausteine der verdichteten Mathematik (englisch condensed mathematics, deutsch auch ‚kondensierte Mathematik‘ genannt^[6]). Eine verdichtete Menge ist eine Garbe auf einer Kategorie von Stone-Räumen.^[7]