T-Statistik

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Die t-Statistik misst die Abweichung des geschätzten Wertes eines Parameters ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ von seinem hypothetisch angenommenen Wert ${\displaystyle \beta _{0}}$ (in Einheiten des Standardfehlers des Schätzers mit unbekannter Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ der Grundgesamtheit):

${\displaystyle t={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE({\hat {\beta }})}}}$.

Ist die Standardabweichung bekannt, so kann stattdessen die z-Statistik berechnet werden.

Die t-Statistik wird im t-Test, die z-Statistik im z-Test verwendet.

Beispiel

Die t-Statistik für den Stichprobenmittelwert ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}}{N}}}$ (für unabhängige Stichproben aus einer Verteilung mit Mittelwert ${\displaystyle \mu }$) ist:

${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{SE({\hat {\beta }})}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {N}}}}.}$

Beachte, dass der Schätzer ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ (die empirische Standardabweichung) in der Formel für den Standardfehler benutzt wurde, da die Standardabweichung der Grundgesamtheit im gegebenen Szenario unbekannt ist.

Die t-Statistik folgt einer Student-t-Verteilung mit N−1 Freiheitsgraden.