Viereck

Dieser Artikel beschreibt die ebene, geometrische Figur; zu weiteren Bedeutungen siehe Viereck (Begriffsklärung).

Ein Viereck (auch Tetragon, Quadrangel oder Quadrilateral) ist eine Figur der (euklidisch) ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. Analog zu Dreiecken ist auch eine Verallgemeinerung des Vierecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien (gekrümmte Vierecke) möglich. In der projektiven Geometrie spielen vollständige Vierecke und die dazu dualen vollständigen Vierseite eine wichtige Rolle. In der endlichen Geometrie werden Inzidenzeigenschaften des Vierecks zur Definition des Begriffs „Verallgemeinertes Viereck“ verwendet.

Einige Typen von Vierecken

Einteilung

Hierarchie der Vierecke

Mengendiagramm ohne Tangentenvierecke

Mengendiagramm ohne Drachenvierecke

Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex, liegt genau eine Diagonale außerhalb, so nennt man das Viereck konkav. Das Viereck ist das einfachste Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks, zum Beispiel beim verschränkten Trapez. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360°, weil sich jedes Viereck in zwei Dreiecke zerlegen lässt.

Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große Innenwinkel von 90°, also rechte Winkel, hat, ist ein Rechteck. Ein Rechteck, das vier gleich lange Seiten hat, ist ein Quadrat. Das Quadrat ist das regelmäßige Viereck.

Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat ist eine Raute mit vier gleich großen Innenwinkeln.

Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten Mengenrelationen, insbesondere die in der Abbildung dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel

• Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke^{[AE 1]}

Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen für Schnittmengen:

• Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
• Quadrate = Drachenvierecke ∩ gleichschenklige Trapeze
• Rechtecke = Sehnenvierecke ∩ Parallelogramme
• Rauten = Drachenvierecke ∩ Trapeze
• Rauten = Tangentenvierecke ∩ Parallelogramme
• Gleichschenklige Trapeze = Sehnenvierecke ∩ Trapeze

Verfeinerung der Einteilung

Die ebenen Vierecke werden wie folgt nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt.

1. Eigenschaften des Inneren:
   • konvex
   • konkav

Symmetrie-Eigenschaften:

1. • Achsensymmetrie
     • eine Diagonale ist Symmetrieachse: Drachenviereck
     • beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Raute
     • die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkliges Trapez
     • die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
     • vier Symmetrieachsen: Quadrat
   • Drehsymmetrie
     • zweizählige Drehsymmetrie (Punktsymmetrie): Parallelogramm
     • vierzählige Drehsymmetrie: Quadrat

Seiteneigenschaften:

1. • Länge:
     • zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
     • zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Drachenviereck
     • gleichseitiges Viereck: Raute
     • die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck
   • Lage:
     • die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck
   • Orientierung:
     • mindestens ein Paar paralleler Seiten: Trapez
     • zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm

Diagonaleneigenschaften

1. • Länge:
     • beide Diagonalen sind gleich lang: notwendige Eigenschaft für gleichschenklige Trapeze
   • Lage:
     • Schnitt / Berührung: die beiden Diagonalen schneiden sich nicht (und berühren sich deshalb auch nicht): hinreichende Eigenschaft für konkave Vierecke
     • Lage des Schnittpunkts:
       • eine Diagonale wird durch die andere mittig geschnitten: notwendige Eigenschaft für konvexes Drachenviereck
       • beide Diagonalen schneiden sich in ihrer Mitte: notwendige und hinreichende Eigenschaft für ein Parallelogramm
   • Orientierung:
     • Größe des Orientierungswinkels: die Diagonalen stehen im rechten Winkel aufeinander: notwendige Eigenschaft für Drachenviereck

Größe der Winkel:

1. • zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: Parallelogramm
   • zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkliges Trapez
   • gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
   • die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

Lage der Ecken:

1. • die Ecken liegen auf demselben Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck

Anmerkungen und Erläuterungen

1. Die Quadrate bilden eine echte Teilmenge der Rechtecke, die Rechtecke bilden eine echte Teilmenge der Parallelogramme usw.
2. Hier wird angenommen, dass ein nicht-überschlagenes Viereck vorliegt.