Z2 (Gruppe)

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 (${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ oder ${\displaystyle C_{2}}$) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{2}}$, zur ersten Diedergruppe ${\displaystyle D_{1}}$ und zur orthogonalen Gruppe ${\displaystyle O(1)}$ im Eindimensionalen.

Eigenschaften

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ der additiven Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

${\displaystyle +}$	0	1
0	0	1
1	1	0

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe ${\displaystyle \{1,2\}}$ der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

${\displaystyle \cdot }$	1	2
1	1	2
2	2	1

Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Diese ist ${\displaystyle \{-1,1\}\subset \mathbb {Z} }$ und man erhält die Verknüpfungstafel

${\displaystyle \cdot }$	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

ℤ2 als Untergruppe

• Das direkte Produkt der zyklischen Gruppe vom Grad 2 mit sich selbst ergibt die Kleinsche Vierergruppe: ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}=V_{4}}$.
• Das direkte Produkt abzählbar vieler dieser Gruppen ergibt die Cantorgruppe.
• Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ enthält drei zur Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ isomorphe echte Untergruppen.

Darstellungen

Jede nichttriviale Darstellung der ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

ℤ2 als Körper

Die Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$ mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ist durch die Verknüpfungstafel

${\displaystyle \cdot }$	0	1
0	0	0
1	0	1

gegeben. Die beiden Verknüpfungen ${\displaystyle +}$ und ${\displaystyle \cdot }$ zusammen machen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit ${\displaystyle F_{2}}$ oder ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ bezeichnet.

Es ist zu beachten, dass ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ zusammen mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet, da es für 0 kein inverses Element gibt.

Siehe auch

• Liste kleiner Gruppen

Weblinks

• Gruppen kleiner Ordnung, Archivlink abgerufen am 18. Februar 2025